問題 問題（聖光学院中学2022/1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります 1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります。 このとき，次の問いに答えなさい。 （1）15個の玉の中から5個の玉を選んで一列に並べる並べ方のうち，左から順に赤，赤，白，白，白と並ぶような玉の並べ方は全部で何通りありますか。 （2）15個の玉の中から3個 […]
問題 問題（聖光学院中学2022/必要な所だけをダイヤグラムに書き出そう） 下の図のような1辺が10cmの正方形ABCDと，辺CDを両側に5cmずつ延長した直線EFがあります。 この図形上を2点P，Qが同時に出発して，一定の速さで移動します。点Pは，点Aを出発して，正方形ABCDの辺上をA→B→C→D→A →B→・・・の順に繰り返し移動します。また，点Qは点Eを出発し […]
問題 問題（聖光学院中学2022/序盤の解答を終盤で利用する、最後は少しだけ面倒） 各位の数の和が各位の数の積以上である3桁の整数A を考えます。たとえば，925の各位の数の和は9＋2＋5＝16，各位の数の積は9×2×5＝90となり，925は整数Aとしてふさわしくありません。 このとき，次の問いに答えなさい。 （1）百の位の数が9である整数Aは全部で何個ありますか。 （2）3つの位の数の中に0を […]
問題 問題（聖光学院中学2022/比と仕事算の二段階で解く） 36人いるクラスの生徒を2つのグループA，Bに分けて，ある作業をしました。 まずグループ Aの生徒たちが1時間作業をして全体の半分を終え，次にグループ Bの生徒たちが24分間作業をして全体の$ \displaystyle \frac{1}{7} $を終え，最後に残った分をクラス全員で行い，全体の作業を終えました。クラス全員で作業した時 […]
問題 問題（成蹊中学2022/それぞれの場合を丁寧に数え上げよう） （原文ママとするため図6～8とする） 図6のような，縦4マス，横4マスのマス目があります。このマス目の中を，次の規則にしたがって，整数を書きこみながら移動します。 規則 ・左下のAのマスに整数を書きこみます。 ・左下のAのマスから移動を開始し，右上のBのマスまで移動します。 ・右または上に1マスずつ移動します。 ・右に移動すると […]
問題 問題（逗子開成中学2022/地味で時間が掛かりそう、個人的に嫌いな問題） 子供たちに配るためにアメを用意しました。9個入りの袋にアメをつめると，アメは余ることなくちょうどつめることができます。用意したアメの個数は，150個以上300個以下です。このとき，次の問いに答えなさい。 （1） 7個入りの袋にアメをつめていくと，アメは余ることなくちょうどつめることができました。このとき […]
問題 問題（逗子開成中学2022/簡単な人には何ともない問題でも、分らない人はとことん分らない） 次郎君はまっすぐな道を自転車で毎時12kmの速さで走っています。また，その道を次郎君が走っている方向に10分間かくでバスも走っています。次郎君が16分ごとにバスに追いこされるとき，バスの速さを求めなさい。 解答 解答を開く 次郎君はまっすぐな道を自転車で毎時12kmの速さで走っていま […]
問題 問題（巣鴨中学2022/程よく難しい問題、比、連比、割合、いろいろ駆使して進めましょう） P地点からQ地点までまっすぐな道があリます。太郎君はP地点からQ地点へ向かって、次郎君と三郎君はQ地点からP地点へ向かって、3人とも同じ時刻に出発しました。太郎君は、出発してから30分後に次郎君と出会い、その1分30秒後に三郎君と出会いました。また、次郎君は太郎君と出会ってから40分後に、P地点に着き […]
問題 問題（巣鴨中学2022/四角すいを円と正方形でくり抜く） ある土地に、図1のような底面が正方形で、側面がすべて合同な二等辺三角形である四角すいの形に土が盛られています。この四角すいの底面の1辺は12mで、高さは12mです。このとき、次の各問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14として計算しなさい。また、角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷3で求められます。 （1） 盛られている土の体積 […]
問題 問題（巣鴨中学2022/比の数に置き換えると見やすくなります） 下の図で、角アの大きさと角イの大きさの比は1：3、角ウの大きさと角工の大きさの比は1：2です。角アの大きさと角ウの大きさをそれぞれ求めなさい。 解答 解答を開く 下の図で、角アの大きさと角イの大きさの比は1：3、角ウの大きさと角工の大きさの比は1：2です。角アの大きさと角ウの大きさをそれぞれ求めなさい。 &nb […]
問題 問題（巣鴨中学2022/生徒総数311人の学校で生徒代表を3人を選ぶ選挙を行いました） 生徒総数311人の学校で生徒代表を3人を選ぶ選挙を行いました。投票は1人につき1票で、得票数の上位3人が生徒代表となリます。A，B，C，D，E，Fの6人が立候補をしました。開票が進み、残りが50票となったところでの結果が以下のようになりました。Dが確実に当選するには、あと何票必要ですか。最も少ない票数を […]
問題 問題（巣鴨中学2022/面積図の練習をしましょう） 大型のスーパーAと商店Bでは同じ品物を仕入れています。その品物について、AではBが仕入れた個数の6倍を仕入れているので、1個あたりの仕入れ値はBよりも12円安いです。定価はA，Bともに同じで、仕入れた個数をすべて売り切ると、AとBの全体の利益の比は9：1になります。Aにおける品物1個あたりの利益は何円ですか。 解答 解答を開く &nbs […]
問題 問題（巣鴨中学2022/1から2022までの整数のうち、数字の3と7を使わない整数は何個ありますか?） 1から2022までの整数のうち、数字の3と7を使わない整数は何個ありますか。 解答 解答を開く 1から2022までの整数のうち、数字の3と7を使わない整数は何個ありますか。 まず３桁で考え、3桁未満の数字は0を頭に置く。 3と7を含む数を数え、 […]
問題 問題（巣鴨中学2022/場合分け＋素因数分解＋樹形図） 4つの商品A，B，C，Dがあります。これらの商品の値段はそれぞれ、60円，120円，240円，350円です。商品A，B，C，Dをいくつか買ったところ、代金の合計は1300円になりました。商品の個数の組み合わせは何通りありますか。ただし、買わない商品があってもよいものとします。 解答 解答を開く 4つの商品A，B，C，D […]
問題 問題（女子学院中学2022/最後の問題で計算時間を取られるが完答者は多そう） 次の□にあてはまる数を入れなさい。 A，B，Cの3台の機械は，それぞれ常に一定の速さで作業をします。BとCの作業の速さの比は5：4です。 ある日，A，B，Cで別々に，それぞれ同じ量の作業をしました。3台同時に作業を始め，Bが$ \displaystyle \frac{1}{4} $を終えた6分後にAが$ \dis […]
問題 問題（女子学院中学2022/最後は若干時間が掛かるが完答を求められる問題） 正四角柱（底面が正方形である角柱）の形をしたふたのない容器3つを図1のように組み合わせた水そうがあります。この水そうを上から見ると図2のようになり，㋐の部分の真上から一定の割合で水を注ぎました。 グラフは，水を注ぎ始めてからの時間（分）と㋐の部分の水面の高さ（cm）の関係を表しています。グラフのDが表す時間の後は， […]
問題 問題（女子学院中学2022/法則を探し出す） J子さんは正八角柱（底面が正八角形である角柱）を辺にそって切り開いて展開図を作ろうとしましたが，誤って図のように長方形Aだけ切り離してしまいました。正しい展開図にするには長方形Aの辺をどこにつけたらよいですか。辺「あ」～「ふ」の中からすべて答えると[ ① ]です。 角柱を切り開いて展開図を作るとき，いくつの辺を切ればよいか，まず， […]
問題 問題（女子学院中学2022/意味わからんって人は構わず飛ばしましょう、でも簡単な問題です） A，Bを整数として，A以上B未満の素数の個数をA★Bで表すとします。□にあてはまるものを入れなさい。 （1） 10★50＝□ （2）(20★A)×(A★B)×(B★50)=9となるA，Bの組のうちAとBの和が最も大きくなるのはA＝□，B＝□のときです。 解答 解答を開く A，Bを整数 […]
問題 問題（女子学院中学2022/この問題が問題なのは大問1の中の小問に出てくること、迂闊に手を出して時間配分が崩れそう） J子さんの家から駅までは1995mあり，J子さんは家から駅に向かって，父は駅から家に向かって11時に同時に歩き始めました。J子さんは途中の公園まで分速□mで4分間歩き，公園で5分間遊んでから，それまでより毎分7m速い速さで駅に向かいました。 父は途中の店まで分速80mで□分 […]
問題 問題（女子学院中学2022/二等辺三角形を見つけて角度を求める） 図のように，中心角90゜のおうぎ形の中に正三角形ABCと点Oを中心とする半円があります。角㋐～角㋓を求めなさい。 解答 解答を開く 図のように，中心角90゜のおうぎ形の中に正三角形ABCと点Oを中心とする半円があります。角㋐～角㋓を求めなさい。 角㋐ △ABCは正三角形、△ABDは […]
問題 問題（城北中学2022/前問の結果を利用する手もある） A君とB君が何回かじゃんけんをして，間にあいこをはさんでもよいので2回続けて勝った方を優勝とします。例えば，1回目にA君が勝ち，2回目があいこ，3回目もあいこで，4回目にA君が勝てば，その時点でA君の優勝が決まります。このとき，次の問いに答えなさい。 ただし，どの手を出して勝ったかは区別しないものとします。例えば，2回目のじゃんけんで […]
問題 問題（城北埼玉中学2022/探し出すのが途中で面倒くさくなる） 大きさの異なる4つのさいころを同時に投げて出た目の積を考えます。 例えば，積が10となる4つの目の組は1，1，2，5だけなので，積が10となる目の出方は12通りです。 次の問いに答えなさい。 （1） 積が540になる目の出方は何通りありますか。 （2） 積が360になる目の出方は何通りありますか。 （3） 積が360より大きく […]
問題 問題（城北埼玉中学2022/数え上げる作業に時間を取られそう） 下の図のように1辺の長さが1cmの立方体があります。この立方体の全ての面に同じ大きさの立方体をつけていきます。このように，1つ前の立体の全ての面に立方体をつけていくことを1回の操作とします。 次の問いに答えなさい。 （1） 1回目の操作後の立体の表面積を求めなさい。 （2） 2回目の操作後の立体の表面積を求めなさい。 （3） […]
問題 問題（淳心学院中学2022/三角形の辺の比の便利な使い方） 右の図の三角形ABCは正三角形で，AD：DB=1：1，BE：EF：FC=1：2：1，CG：GA=3：1です。次の問いに答えなさい。 （1） DH：HFを最も簡単な整数の比で答えなさい。 （2） 三角形EFHと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。 （3） 三角形DHGと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で […]
問題 問題（白百合学園中学2022/サッカー部員がグラウンド整備する仕事） ある学校のサッカ一部員が、2つのグラウンドA、Bの整備をしました。AはBの3倍の広さです。はじめに全員でAを1時間整備しました。その後、部員の人数を半分ずつに分けて、一方がA、もう一方がBの整備をしました。15分後にAの整備が先に終わったところでその日の作業を終え、Bの残りの整備を次の日にすることにしました。2日目は部員 […]
問題 問題（昭和学院秀英中学2022/作業のある問題） （1） 2桁の整数10，11，12， …，98，99について、7で割ったときの余りが1になる素数をすべて求めなさい。 （2） 7で割ると2余る2桁の整数と7で割ると3余る2桁の整数がある。この2つの数の合計が5の倍数になるとき， 2つの数の合計の中で2番目に小さい値を答えなさい。 （3） Aを7で割った余りがCで、Bを7で割った余りがDのと […]