問題
各位の数の和が各位の数の積以上である3桁の整数A を考えます。たとえば，925の各位の数の和は9＋2＋5＝16，各位の数の積は9×2×5＝90となり，925は整数Aとしてふさわしくありません。
このとき，次の問いに答えなさい。
（1）百の位の数が9である整数Aは全部で何個ありますか。
（2）3つの位の数の中に0を含む整数Aは全部で何個ありますか。
（3）次の3つの条件すべてにあてはまる整数Aは全部で何個ありますか。
・3つの位の数の中に0はない。
・百の位の数は十の位の数以上である。
・十の位の数は一の位の数以上である。
（4）整数Aは全部で何個ありますか。
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解答
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各位の数の和が各位の数の積以上である3桁の整数A を考えます。たとえば，925の各位の数の和は9＋2＋5＝16，各位の数の積は9×2×5＝90となり，925は整数Aとしてふさわしくありません。
このとき，次の問いに答えなさい。（1）百の位の数が9である整数Aは全部で何個ありますか。
（2）3つの位の数の中に0を含む整数Aは全部で何個ありますか。
（3）次の3つの条件すべてにあてはまる整数Aは全部で何個ありますか。
・3つの位の数の中に0はない。
・百の位の数は十の位の数以上である。
・十の位の数は一の位の数以上である。（4）整数Aは全部で何個ありますか。
（1）
（十の位と一の位に0があれば各位の数の積は全て0になる）
十の位の数が0の場合、一の位は0～9の10個。
一の位の数が0の場合、十の位は0～9の10個。ただし、900は上で数えているので1個引いて9個。
十の位も一の位も0でないときは911の1個。
合わせて10＋9＋1＝20個。（答え） 20個
（2）
百の位は1～9のどれかとなる。
十の位の数が0の場合、一の位は0～9の10個。
一の位の数が0の場合、十の位は0～9の10個。ただし、下二桁が00の数は上で数えているので1個引いて9個。
よって、9×（10＋9）＝171個。（答え） 171個
（3）
百の位が1の場合
111の1個。百の位が2の場合
221・211の2個。百の位が3の場合
321・311の2個。百の位が4の場合
411の1個。百の位が5の場合
511の1個。百の位が6の場合
611の1個。百の位が7の場合
711の1個。百の位が8の場合
811の1個。百の位が9の場合
911の1個。計、1＋2＋2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝11個
（答え） 11個
（4）
0を含む整数Aは（2）で全て数えてある。（171個）
0を含まない整数Aについては下図のとおり。
0を含まない整数Aのうち数えていないものは、【百の位の数が十の位の数より小さいもの】または【十の位の数が一の位の数より小さいもの】なので、これについて数える。
【百の位の数が十の位の数より小さいもの】
百の位が1の場合
121・122・123・131・132・141・151・161・171・181・191百の位が2の場合
231百の位が3の場合、百の位が4の場合、百の位が5の場合、百の位が6の場合、百の位が7の場合、百の位が8の場合、百の位が9の場合
なし【十の位の数が一の位の数より小さいもの】
十の位が1の場合
112・212・312・113・213・114・115・116・117・118・119十の位が2の場合
123十の位が3の場合、十の位が4の場合、十の位が5の場合、十の位が6の場合、十の位が7の場合、十の位が8の場合、十の位が9の場合
なし計24個で重複している123を除くと23個
全て加算すると171＋11＋23＝205個
（答え） 205個
