円と正方形-3-1（城北埼玉中学2022/問（3）を見つけるのが難）
問題 問題（城北埼玉中学2022/問（3）を見つけるのが難） 右の図において，点Oは半径5cmの半円の中心です。また，四角形ABCDは正方形です。AIとDHは垂直に交わり，AIとIJは45゜で交わります。 次の問いに答えなさい。 （1） AHとHIの比を求めなさい。 （2） 四角形ABCDの面積を求めなさい。 （3） OCとCPの比を求めなさい。 （4） 三角形DHPの面積を求めなさい。 解答 […]
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演習問題2
立体の切断-3-2（渋谷教育学園幕張中学2022/コンパス定規使用可、最後までたどり着けるかは作図の正確さにかかってそう）【一部修正】
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2022/コンパス定規使用可、最後までたどり着けるかは作図の正確さにかかってそう） 立方体ABCD-EFGHにおいて 正方形ABCDの対角線ACを三等分する点をAに近い方から点P，Q 正方形FGCBの対角線FCを三等分する点をFに近い方から点R，S 正方形HDCGの対角線HCを三等分する点をHに近い方から点T，U とします。次の各問いに答えなさい。 ただし，角すい […]
場合の数-3-4（渋谷教育学園幕張中学2022/白黒の答案用紙で色を考える嫌な問題、これだけで試験時間が無くなりそう…）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2022/白黒の答案用紙で色を考える嫌な問題、これだけで試験時間が無くなりそう…） 赤，青，黄，緑の4色を点灯することができるライトを4つ，左から一列に並べます。この4つのライトは，スイッチを押すたびにある規則にしたがって色が切り替わります。例えば，右の固のように 赤を青，青を青，黄を緑，緑を赤 に切り替わるような規則を定めると，スイッチを押すたびに，この規則にし […]
倍数-3-1（渋谷教育学園渋谷中学2022/わりと難しめ、時間もかかりそう）
問題 問題（渋谷教育学園渋谷中学2022/わりと難しめ、時間もかかりそう） 1，2，3，4，5の5つの数字だけを使ってできる4桁の数すべてを次のように小さい順に並べました。 1111，1112，1113，1114，1115，1121，1122，・・・・・・，5553，5554，5555 次の問いに答えなさい。 （1） 全部で何個並んでいますか。 （2） 8の倍数は何個並んでいますか。 （3） 並 […]
面積比-3-1（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/普段、丁寧な作図作業をしていないと・・・）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/普段、丁寧な作図作業をしていないと・・・） 栄くんは次の問題に取り組んでいます。 《問題》 角AOB=90゜，辺AB=5cmの直角二等辺三角形OABの辺AB上にAP=1cm，PB=4cmとなる点Pをとり，辺OB上に角OPT=45゜となる点Tをとります。このときOTとTBの長さの比を求めなさい。 栄くんが悩んでいると，東さんが […]
約束記号-3-1（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/前半の問題で導入が用意されているが、場合分けの手法に慣れていないと厳しい）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/前半の問題で導入が用意されているが、場合分けの手法に慣れていないと厳しい） [N]は整数Nを4で割った余りを表します。たとえば[10]＝2，[11]＝3，[12]＝0となります。また，AとBはどちらも2桁の整数とします。 （1） [A]＝0となるAは［ ア ］個，[A]＝1となるAは［ イ ］個，[A]＝2となるA は［ ウ ］個，[A] […]
数の並び方-3-1（慶應義塾中等部2022/つくることができない最大の整数は？）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/つくることができない最大の整数は？） 次の□に適当な数を入れなさい。 （1） 5＋6＝11，5＋6 + 6＝17のように、5と6をいくつかずつ加えて整数をつくります。また、5＋5＝10，6＋6＝12 のように、5または6のどちらか一方の数のみを加えてもよいこととします。このとき、つくることができない最大の整数は□です。 （2） 11＋13＝24のように、11と […]
約数-3-2（暁星中学2022/約束記号は単純だが約数の数を求めるのに時間が掛かりそう）
問題 問題（暁星中学2022/約束記号は単純だが約数の数を求めるのに時間が掛かりそう） 1以上の整数Xに対して、X の約数の個数を記号[X]で表すことにします。 （1） 次の値を求めなさい。 ① [80] ② [81] （2） 1以上2022以下の整数Yに対して、[Y]＝3となるYの個数を求めなさい。 （3） 1以上2022以下の整数Zに対して、[Z]= 9となる最大の整数Zの値を求めなさい。 […]
旅人算-3-3（暁星中学2022/（1）と（2）は易、（3）は難につき捨てましょう）
問題 問題（暁星中学2022/（1）と（2）は易、（3）は難につき捨てましょう） ある日、兄と弟2人がP地点からQ地点まで同じ道を歩きました。弟は途中1回だけ速さを変え、兄は一定の速さで進んだところ、兄の方が30分早くQ地点に着きました。弟が速さを変えてから兄に追い抜かれるまでの時間と追い抜かれてから兄がQ地点に着くまでの時間は同じでした。下のグラフはその日に2人が出発してからQ地点に着くまでの […]
旅人算-3-2（暁星中学2022/ちょっぴり難しめの旅人算）
問題 問題（暁星中学2022/ちょっぴり難しめの旅人算） 太郎君とお父さんが池の周りをジョギングしました。1日目は2人が同じ地点から反対向きに走り、5度目に出会った時に走るのをやめました。2日目は太郎君は1日目と同じ速さで、お父さんは1日目の1割増しの速さで走りました。2人は同じ地点から同じ向きに走り、お父さんが太郎君に追いついた時に走るのをやめました。2人が走った時間は、2日間とも同じでした。 […]
約数-3-1（吉祥女子中学2022/分母に変数があるので数の比較がしづらい）
問題 問題（吉祥女子中学2022/分母に変数があるので数の比較がしづらい） 3個の整数A,B,Cは、次の3つの条件【あ】～【う】をすべて満たしているものとします。 条件【あ】 BはAより大きい 条件【い】 BはAの倍数である 条件【う】 $ \displaystyle \frac{1}{A} $＋$ \displaystyle \frac{1}{B} $＝$ \displaystyle \fra […]
ベン図-3-1（学習院女子中等科2022/一行問題と思って気軽に進めたら時間が無くなり痛い目を見る問題）
問題 問題（学習院女子中等科2022/一行問題と思って気軽に進めたら時間が無くなり痛い目を見る問題） 3桁（けた）の整数で，4，5，6のどれでも割り切れないものは全部で何個ありますか。 解答 解答を開く 3桁（けた）の整数で，4，5，6のどれでも割り切れないものは全部で何個ありますか。 100～999までの３桁の数は900個ある。 条件に当てはまる数を […]
場合の数-3-3（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています）
問題 問題（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています） 白と黒の2色の正方形のタイルがたくさんあります。これらを並べて大きな正方形を作るとき、並べ方が何通りあるかを考えます。ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じ並べ方として考えます。 例えば、2×2の正方形を作るとき図1から図3の3つの並べ方はすべて同じものであると考えます。よって、白のタイル2枚、黒のタイル […]
面積-3-1（開智中学2021/（1）と（2）は完答し、（3）は潔くあきらめる）
問題 問題（開智中学2021/（1）と（2）は完答し、（3）は潔くあきらめる） 図1のように、辺ADと辺BCが平行であり、AB=4cm、BC=6cm、CD=5cm、DA=3cmである台形ABCDがあります。 （1） 図2のように、点Pを辺AB上でBP=2cmとなるところに、点Qを辺CD上でCQ= 1.25 cmとなるところにとります。このとき、四角形PBCQの面積は何cm2ですか。 （2） 図3 […]
ダイヤグラム-3-1（開智中学2021/序盤の小問に潜む地雷の様な問題）
問題 問題（開智中学2021/序盤の小問に潜む地雷の様な問題） 家から学校までいつもの速さで歩くと［ ］分［ ］秒で到着しますが、いつもより分速10m だけ速く歩くと1分20秒速く到着し、いつもより分速10mだけ遅く歩くと1分40秒遅く到着します。 解答 解答を開く 家から学校までいつもの速さで歩くと［ ］分［ ］秒で到着しますが、いつもより分速10m だけ速く歩くと1分20秒速 […]
時計算-3-1（開成中学2022/２つの時計を比べながら進めるのでややこしい）
問題 問題（開成中学2022/２つの時計を比べながら進めるのでややこしい） 開成君の時計はつねに正しい時刻より5分遅れた時刻を指します。この時計について，次の問いに答えなさい。 （1） 開成君の時計の長針と正しい時刻を指す時計の短針が同じ位置にくる場合を考えます。正しい時刻で1時を過ぎたあと，初めてそのようになるのは何時何分ですか。正しい時刻で答えなさい。 正しい時刻を指す時計の短 […]
場合の数-3-2（開成中学2022/（3）-（ウ）を捨てるか、腹をくくって解き続けるか、あなたならどっち？）
問題 問題（開成中学2022/（3）-（ウ）を捨てるか、腹をくくって解き続けるか、あなたならどっち？） 開成君は，図1 のような縦2 マス，横7 マスのマス目を用意し，マス目のいくつかを黒くぬりつぶして「暗号」を作ろうと考えました。そこで，次のようなルールを決め，何種類の暗号を作ることができるかを調べることにしました。 ● 黒くぬりつぶすマス目は，上下左右が隣（とな）り合わないようにする。 ● […]
立体の切断-3-1（海城中学2022/３問目がすぐにひらめく様になればいいですね）
問題 問題（海城中学2022/３問目がすぐにひらめく様になればいいですね） 下の図のように，1辺が12cmの立方体ABCD-EFGHがあり，点Pは辺BF上，点Qは辺DH上の点で，BP＝10cm，DQ＝6cmです。3点A，P，Qを通る平面でこの立方体を切断します。この切断面と辺FG，辺GHが交わる点をそれぞれR，Sとします。次の問いに答えなさい。ただし，角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷3で求め […]
巻き付くひも-3-1（栄光学園中学2022/三次元で動く点を二次元で考えることができるか）
問題 問題（栄光学園中学2022/三次元で動く点を二次元で考えることができるか） 図1のような円すいがあります。この円すいの側面を直線XAに沿って切りひらくと，円の4分の1であるおうぎの形になります。また，円すいの底面の円には，すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。 （1） XAの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。 &nb […]
旅人算-3-1（栄光学園中学2022/3人が池の周りを走るが定期的に皆の速さが変わる仕様）
問題 問題（栄光学園中学2022/3人が池の周りを走るが定期的に皆の速さが変わる仕様） 1周300mの池の周りを，A君とB君は同じ地点Xから同時にスタートし，左回り（反時計回り）に走ります。A君は分速200m，B君は分速250mで走りますが，自分の前10m以内に相手がいるときは速さが1.2倍になります。 例えば，スタート直後は，A君の前10m以内にB君がいるので，A君は分速240mで走ることにな […]
周期算-3-2（市川中学2022/規則性を見つけないと作業が大変、しかも見つけるまでに時間が掛かる）
問題 問題（市川中学2022/規則性を見つけないと作業が大変、しかも見つけるまでに時間が掛かる） 次のような操作を考えます。 操作：ある数に対して，その数が10の倍数のときは10で割り，10の倍数でないときは3倍して2を加える。 この操作を繰（く）り返（かえ）し行うとき，次の問いに答えなさい。 （1） （ⅰ） 1に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。 （ⅱ） 2に対してこの操作を5回 […]
場合の数-3-1（市川中学2022/与えられた条件から9つの異なる数を見つけ出す）
問題 問題（市川中学2022/与えられた条件から9つの異なる数を見つけ出す） 下の会話文中の【ア】から【ク】にあてはまる数を答えなさい。ただし，答えが複数ある場合はすべて答えなさい。 X：「下の筆算が成り立つように，各アルファベットに0から9までの数を1つずつ入れることを考えよう。」 Y：「それなら簡単だよ。AとDとGが6で，BとEとHが7で，CとFとIが4ならば，674＋674＋674＝202 […]
周期算-3-1（麻布中学2022/周期性が見つかると勝ちな問題）
問題 問題（麻布中学2022/周期性が見つかると勝ちな問題） 1から250までの整数が書かれたカードが1枚ずつあリ，これらは上から1のカード，2のカード，…，250のカードの順で積まれています。 Aさん，Bさん，Cさん，Dさんの4人がA→B→C→D→A→B→C→…の順番で次の作業をします。 ・積まれているカードの中で一番上のものを引き，自分の手札にする。 ・自分の手札に書かれている数をすべて合計 […]
流水算-3-1（浅野中学2022/上流へ行く途中でエンジンが止まるパターン）
問題 問題（浅野中学2022/上流へ行く途中でエンジンが止まるパターン） 一定の速さで流れる川の下流にA地点が、上流にB地点があります。A地点からモーターボートで川を上ってB地点に行き、またモーターボートで川を下ってA地点に戻（もど）ってくることになりました。 A地点からエンジンをかけてB地点に向かった10分後にエンジンが故障したので、エンジンを切って修理したところ、ボートは川の流れに従いA地点 […]
容器の水-3-2（愛光中学2015/3種類の容器の水を何度も入れ替える作業の多い問題）
問題 問題（愛光中学2015/3種類の容器の水を何度も入れ替える作業の多い問題） 円柱の形をした3つの容器A，B，Cがあり，AとBとCの底面積の比は6：10：15です。 （1） A，B，Cにそれぞれ水が入っています。Aに入っている水の量の1/5をBに移し，その後，Bに入っている水の量の1/6をCに移すと，A，B，Cに入っている水の高さは同じになりました。A，B，Cにはじめに入っていた水の量の比を […]
影と相似-3-1（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える） 図のような四角柱ABCD-EFGHがあり、底面は1辺が4cmのひし形です。また、点Pと点Qはそれぞれ辺AB,BCの真ん中の点で、点Rは辺BF上にありBRの長さが1cmです。この四角柱を平面上に置き、点Dから6cm真上のところにある電球Oでこの四角柱に光を当てます。 このとき、次の各問いに答えな […]