図形上を動く点-2-3（聖光学院中学2022/必要な所だけをダイヤグラムに書き出そう）

問題

解答

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下の図のような1辺が10cmの正方形ABCDと，辺CDを両側に5cmずつ延長した直線EFがあります。

 

 

この図形上を2点P，Qが同時に出発して，一定の速さで移動します。点Pは，点Aを出発して，正方形ABCDの辺上をA→B→C→D→A →B→・・・の順に繰り返し移動します。また，点Qは点Eを出発して，直線EF上をE→F→E→F→・・・と往復します。

このとき，次の問いに答えなさい。

（1）点Pが毎秒2cm，点Qが毎秒5cmで移動するとき，点Pと点Qが初めて重なるのは，2点が出発してから［ア］秒後，2回目に重なるのは［イ］秒後です。［ア］，［イ］にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（2）点Pが毎秒2cm，点Qは点Pよりも速い速さで移動する場合について考えます。点Qが毎秒［ウ］ cmよりも速く，毎秒［エ］cmよりも遅い速さで移動するときに限り，点Pが1回目に点C，Dを含む辺CD上を移動するときに，点Q と重なることはありません。［ウ］，［エ］にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（3）点Pが毎秒2cm，点Qは毎秒2cmよりも速く，毎秒4cmよりも遅い速さで移動する場合について考えます。点Pが1回目に辺CD上を移動する間に点Q と重なることがあり，点Pが2回目に点D に重なるとき，点Qも同時に点Dに重なります。このとき，点Qの移動する速さは毎秒［オ］cm です。［オ］にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。

 

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（1）
ECDF間のダイヤグラムを作る。

①の時間に点Qと点Pの進む距離の合計は25cm。

よって、求める時間アは10＋$ \displaystyle \frac{25}{2+5} $＝13$ \displaystyle \frac{4}{7} $秒

②の時間に点Qと点Pの進む距離の合計は5cm。

よって、求める時間イは30＋$ \displaystyle \frac{5}{2+5} $＝30$ \displaystyle \frac{5}{7} $秒

（答え）　ア　13$ \displaystyle \frac{4}{7} $　　イ　30$ \displaystyle \frac{5}{7} $

 

（2）
点Qが実線より速く、そして点線より遅く動く時が今回の条件にあてはまる。

点線から、35÷10＝3.5cm/sより速く、

実線から、55÷15＝3$ \displaystyle \frac{2}{3} $cm/sより遅くなればよい。

（答え）　ウ　3.5　　　エ　3$ \displaystyle \frac{2}{3} $　

 

（3）
赤い実線は点Qが4cm/sで移動するとき。
赤い点線は点Qが2cm/sで移動するとき。
赤い実線の移動速度を徐々に遅くすると赤い点線に重なる。そして重なるまでに赤い3つの○は青い○に重なる。
条件にあてはまる速度は、赤い3つの○が青い○に重なった速度。

95÷35＝2$ \displaystyle \frac{5}{7} $cm/s

105÷35＝3cm/s

135÷35＝3$ \displaystyle \frac{6}{7} $cm/s

（答え）　オ　2$ \displaystyle \frac{5}{7} $　，3　，3$ \displaystyle \frac{6}{7} $