容器の水-2-1（成蹊中学2016/容器を45゜傾けた時の残った水の体積）

問題

解答

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次の問いに答えなさい。

（1） 図5のように縦2cm, 横3cm,高さ5cmの直方体の容器があります。
この容器いっぱいに水を入れ，図6のように辺EFを床につけた状態でこの容器を45゜傾けました。容器の中に残った水の体積は何cm³ですか。

（2） 図7の直方体の容器は体積が360cm³で，辺QUの長さは辺QRの長さの3倍です。

① 図7の容器いっぱいに水を入れ，図8のように辺TUを床につけた状態でこの容器を45゜傾けました。容器の中に残った水の体積は何cm³ですか。

② 図8の状態から水をいくらか捨てて，再び辺TUを床につけた状態で，この容器を45゜傾けると， 図9のようになりました。容器の中に残った水の体積が160cm³のとき， QXとXUの長さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

 

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（1）

辺BCと平行な点イを通るアイをつくる。

【考え方１】
四角形BCイアは正方形なので、これを底面積と考え、高さを辺ABとした直方体の体積の半分が、こぼれた水の容量となる。
【考え方2】
三角形BCイを底面積として、高さをABとした三角柱の体積が、こぼれた水の容量となる。

容器の容量－こぼれた水の容量＝2×3×5－3×3÷2×2＝21

（答え）　21cm³

 

（2）ー①

四角形QRVUの面積を①×③＝③とすると、三角形QRウの面積は①×①÷２＝①/2（ニブンノイチマル）
よって、四角形QRVUの面積：三角形QRウの面積＝6：1となり、体積比も同じ。
容器の体積：容器の中に残った水の体積＝6：5＝360：300
容器の中に残った水の体積は300cm³

（答え）　300cm³

 

（2）ー②

（2）ー①より、水のこぼれた三角形QRウの体積は60cm³、同じく三角形UVエも60cm³、四角形QウVエが残りの240cm³となる。

図の様に、
平行四辺形QウVエの体積は240cm³、
平行四辺形QウYXの体積は140cm³、
平行四辺形YXVエの体積は100cm³、
これより、QX：Xエ＝140：100＝$\boxed{\text{7}}$：$\boxed{\text{5}}$
Qエの長さを$\boxed{\text{12}}$（＝$\boxed{\text{7}}$＋$\boxed{\text{5}}$）とすると、エUの長さは半分なので$\boxed{\text{6}}$となる。
QX：Xエ：エU＝$\boxed{\text{7}}$：$\boxed{\text{5}}$：$\boxed{\text{6}}$とわかり、
QX：XU＝$\boxed{\text{7}}$：$\boxed{\text{5＋6}}$＝$\boxed{\text{7}}$：$\boxed{\text{11}}$と求まる。

（答え）　7 ： 11