約数-2-1（恵泉女学園中学2022/3問目は地道に数え上げる時間がかかりそうな問題）

問題

解答

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つまようじを何本か使って立方体を組み立てます。はじめに，下の図の一番左のような立方体をつくったとき，必要なつまようじの本数は12本で，これを1段目とします。次に，縦，横，奥に1本ずつのばしてつくった立方体を2段目，3段目…とします。

ここで，4段目の立方体に必要なつまようじの本数を考えます。縦，横，奥にそれぞれに分けて必要な本数を考えたとき，縦に必要なつまようじは，4×5×5＝100（本）になります。さらに，横，奥も同じように数えることができるため，4段目に必要なつまようじの本数は，全部で4×5×5×3＝300（本）になります。

次の問いに答えなさい。

（1） 5段目の立方体に必要なつまようじは何本ですか。
（2） 必要なつまようじの本数が2700本になるときの立方体は何段目ですか。
（3） 必要なつまようじの本数が100の倍数になるのは，1段目から100段目の中で，全部で何通りありますか。

 

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（1）
設問の式と同様に他の段も式を作る。
1段目：1×2×2×3
2段目：2×3×3×3
3段目：3×4×4×3
4段目：4×5×5×3
この規則性より、
□段目：□×（□＋1）×（□＋1）×3
となる。よって、
5段目：5×6×6×3＝540

（答え）　540本

 

（2）
□段目：□×（□＋1）×（□＋1）×3＝2700
□×（□＋1）×（□＋1）＝900
□＝9

（答え）　9段目

 

（3）
100の倍数　⇒　式の中に約数5が2つと約数2が２つ含まれればよい。

【□段目：□×（□＋1）×（□＋1）×3の（□＋1）が5の倍数のものを数える】
4段目：4×（5×1）×（5×1）×3・・・〇
9段目：9×（5×2）×（5×2）×3・・・〇
14段目：14×（5×3）×（5×3）×3・・・×
19段目：19×（5×4）×（5×4）×3・・・〇
24段目：24×（5×5）×（5×5）×3・・・〇
29段目：29×（5×6）×（5×6）×3・・・〇
34段目：34×（5×7）×（5×7）×3・・・×
…
以上より、9を含む段は全て条件に当てはまるので9段目,19段目,…,99段目の10通り。・・・①

4を含む段の残りを全て確認する。

44段目：44×（5×9）×（5×9）×3・・・〇
54段目：54×（5×11）×（5×11）×3・・・×
64段目：64×（5×13）×（5×13）×3・・・〇
74段目：74×（5×15）×（5×15）×3・・・×
84段目：84×（5×17）×（5×17）×3・・・〇
94段目：94×（5×19）×（5×19）×3・・・×
以上より、4を含む段は条件に当てはまるのは5通り。・・・②

【□段目：□×（□＋1）×（□＋1）×3の□が25の倍数のものを数える】
25段目：25×26×26×3・・・〇
50段目：50×51×51×3・・・×
75段目：75×76×76×3・・・〇
100段目：100×99×99×3・・・〇
以上より、条件に当てはまるのは3通り。・・・③

①＋②＋③＝18通り。

（答え）　18通り