旅人算-2-7（四天王寺中学2022/円周上を動く３点をグラフ化する：難問ではないが細かい作業で時間がかなり取られる）

問題

解答

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図1のように円周上に2点S，Tがあり，点Aと点CはSから，点BはTから同時に出発しそれぞれ一定の速さで動きます。点Aは右回りに，点Bと点Cは左回りに動き，点Aと点Bは点Cの2倍の速さで動きます。また， 3点A，B，Cは他の点と出会うと，それぞれ速さを変えずに逆向きに動きます。下のグラフは，この3点が出発してからの時間と2辺OAとOBが作る角の大きさの変化を表したものの一部です。ただし，2辺OAとOBが作る角の大きさは180゜以下とします。また，図2～図7は，3点A，B，Cのうち2つの点が出会ったときを順に表したものです。

（1） 出発してから1分後の2辺OSとOCが作る角の大きさは何度ですか。180゜以下で答えなさい。
（2） $ \fbox{イ} $，$ \fbox{オ} $にあてはまる数を答えなさい。
（3） 3点A，B，Cが初めて図1の状態にもどるのは，出発してから何分後ですか。

 

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（1）
グラフより、7.5分で点A，B共に90°進むので1分では12°進む。
点Cはその半分の速さで進むので1分あたり6°進む。

（答え）　6度

 

（2）
点A，Bの速さを②、点Cの速さを①として、図3～図7までの時間をうめてゆく。

6×7.5＝45°

150°＝225×$ \displaystyle \frac{②}{③} $
150÷12＝12.5
7.5＋12.5＝20分・・・ア

図３からAとCは60°の出会い算。
60×$ \displaystyle \frac{②}{③} $＝40°がAの進んだ角度。
40÷12＝3$ \displaystyle \frac{1}{3} $
20＋3$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝23$ \displaystyle \frac{1}{3} $分・・・イ
また、角AOCは60°となり、これを図５で利用する。

図４で角AOCが60°になることから、図３から図２に動く時と、図４から図５へ動く時は左右対称のグラフになることを利用する。
23$ \displaystyle \frac{1}{3} $＋20－7.5＝35$ \displaystyle \frac{5}{6} $分・・・ウ
角度については図４よりABの出会い算を使い、
300×$ \displaystyle \frac{①}{②} $＝150、150－（60＋40）＝50°
6×12.5＝75、75＋（60＋40）＝175°

図５から図６への動きの逆が図２から図1への動きなので、
35$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋7.5＝43$ \displaystyle \frac{1}{3} $分・・・エ
12×7.5＝90、90－50＝40°

図６で角AOCが180°なので、ACの出会い算より、
180×$ \displaystyle \frac{②}{③} $＝120、40＋120＝160°
（160－40）÷12＝10、43$ \displaystyle \frac{1}{3} $＋10＝53$ \displaystyle \frac{1}{3} $分・・・オ

（答え）　イ　23$ \displaystyle \frac{1}{3} $　オ　53$ \displaystyle \frac{1}{3} $

 

（3）
図の様に160分後に60°回転するので、あと120°回転すると元の位置に戻る。

180÷60＝3、160×3＝480分

（答え）　480分後