数列-2-6（慶應義塾湘南藤沢中等部2022/規則性をみつけて順番に数を出していこう）

問題

解答

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右の図のように数のかかれた白いカードと黒いカードが並べてある。

（1） 10段目の左から4番目のカードの数を求めなさい。
（2） 15段目のすべての白いカードの数の和を求めなさい。
（3） ある段の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和を比べたら，その差が61であった。そのような段は何段目と何段目ですか。

 

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（1）
図の規則性より、
・奇数段は白いカードからは始まり、偶数段は黒いカードから始まる
・n段目の始めの数＝1つ前の段の始めの数＋1つ前の段数
・n段目はn枚のカードがある
とわかる。
9段目の始めの数＝29＋8＝37
10段目の始めの数＝37＋9＝46
よって、10段目の左から4番目のカードの数は、46,47,48,49より、49。

（答え）　49

 

（2）
11段目の始めの数＝46＋10＝56
12段目の始めの数＝56＋11＝67
13段目の始めの数＝67＋12＝79
14段目の始めの数＝79＋13＝92
15段目の始めの数＝92＋14＝106
15段目は奇数段なので白いカード106から始まり15枚のカードがあるので、106から120まで。
よって、白いカードの数の和＝106＋108＋110＋112＋114＋116＋118＋120=904

（答え）　904

 

（3）
【偶数段目について】
2段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は1
4段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は2
6段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は3
8段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は4
・・・
□段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は61
□には122が入る。

【奇数段目について】
3段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は5
＝4＋1＝（3×1＋1）＋1
5段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は13
＝11＋1＋1＝（5×2＋1）＋1＋1
7段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は25
＝22＋1＋1＋1＝（7×3＋1）＋1＋1＋1
9段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は41
＝37＋1＋1＋1＋1＝（9×４＋1）＋1＋1＋1＋1　⇐　この時点で61に大分近い
11段目の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和の差は前述の式の規則性から、
（11×5＋1）＋1＋1＋1＋1＋1＝61　⇐　61が出た

よって、11段目と122段目

（答え）　11段目と122段目