問題
次のような順に分数が並んでいます。
このとき、次の問いに答えなさい。
（1） 30番目の分数を求めなさい。
（2） 分母が400である分数の分子を求めなさい。
（3） $ \displaystyle \frac{1}{4} $と等しい分数は何番目か求めなさい
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解答
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次のような順に分数が並んでいます。
このとき、次の問いに答えなさい。
（1） 30番目の分数を求めなさい。
（2） 分母が400である分数の分子を求めなさい。
（3） $ \displaystyle \frac{1}{4} $と等しい分数は何番目か求めなさい（1）
分子は15,17,19,21,23,25,・・・
1つ目の数が15、隣り合う数の差が２となっている。
よって、n番目の数は15＋2×（n－1）分母は22,31,40,49,58,67,・・・
1つ目の数が22、隣り合う数の差が9となっている。
よって、n番目の数は22＋9×（n－1）30番目の分数は、$ \displaystyle \frac{15+2×(30－1)}{22+9×(30－1)} $＝$ \displaystyle \frac{73}{283} $
（答え） $ \displaystyle \frac{73}{283} $
（2）
分母について、22＋9×（n－1）が400となるnは、
22＋9×（n－1）＝400
n＝43
よって、43番目の分子は、
15＋2×（43－1）＝99（答え） 99
（3）
（2）のことより、$ \displaystyle \frac{分子}{分母} $＝$ \displaystyle \frac{99}{400} $＜$ \displaystyle \frac{①}{④} $となっているので、43番目より少し前に戻してみる。
43番目は$ \displaystyle \frac{99}{400} $、42番目は$ \displaystyle \frac{97}{391} $、41番目は$ \displaystyle \frac{95}{382} $、40番目は$ \displaystyle \frac{93}{373} $、39番目は$ \displaystyle \frac{91}{364} $となるので、39番目（答）が$ \displaystyle \frac{①}{④} $になるとわかる。（答え） 39番目
別解：数式を使った解き方$ \displaystyle \frac{15+2×(n－1)}{22+9×(n－1)} $＝$ \displaystyle \frac{①}{④} $
15＋2×（n－1）＝①
22＋9×（n－1）＝④
分子の式を4倍して比較する。
60＋8×（n－1）＝④
22＋9×（n－1）＝④60＋8×（n－1）＝22＋38＋8×（n－1）
22＋9×（n－1）＝22＋1×（n－1）＋8×（n－1）
2式を比較して、
1×（n－1）＝38
n＝39（39番目）（答え） 39番目
