数列-2-2（立教池袋中学2014/数列をグループに分けて考える）

問題

解答

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ある規則に したがって、下のように2，3，5，7，11が並んでいます。
2，3，5，7，11，2，2，3，3，5，5，7，7，11，11，2，2，2，3，3，3，…
次の問いに答えなさい。

1） はじめから数えて、131番目の数はいくつですか。
2） 11が初めて11個述続で並ぶのは、はじめから数えて何番目から何番目ですか。

 

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1）

2，3，5，7，11・・・1番目のグループは5コ
2，2，3，3，5，5，7，7，11，11・・・2番目のグループは10コ
2，2，2，3，3，3，…，11・・・3番目のグループは15コ
（2と3と5と7と11）で区切った各グループの数は5コずつ増える。

5＋10＋15＋20＋25＋30＝105・・・6番目までのグループに含まれる数は105コ
5＋10＋15＋20＋25＋30＋35＝140・・・7番目までのグループに含まれる数は140コ

7番目のグループの最初の数は106番目の数で「2」であり、最後の数は140番目の数で「11」となる。

【7番目のグループ】
2（←106番目の数），2，2，2，2，2，2，3，・・・7，7（←131番目の数），7，7，11，11，11，11，11，11，11（←140番目の数）
よって、131番目の数は7。

（答え）　7

 

2）

11が初めて11個連続で並ぶのは11番目のグループ。

11番目のグループの最後の11は、
5＋10＋15＋・・・＋55＝5×（1＋2＋3＋・・・＋11）＝5×｛（1＋11）×11÷2｝＝330より
はじめから数えて330番目の数となる。

11番目のグループは11が11個連続で並ぶので、その1個目の11は330－10＝320番目の数。
よって、はじめから数えて320番目から330番目が11になる。

（答え）　320番目から330番目