すい体-2-1（大阪星光学院中学2015/水の入った円柱の容器に円すいを沈める）

問題

解答

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右の図のような，底面の半径8cm, 高さ18cmの円柱の容器に，高さ17cmのところまで水が入っています。
ここに，底面の半径8cm, 高さ24cmの円すいを，矢印の向きに沈（しず）めていきます。
円周率を3.14として，次の問に答えなさい。

（1） 水が容器からこぼれ始めるとき，円すいは水に何cm沈んでいますか。求め方と答えを書きなさい。

（2） 円すいの頂点を容器の底につけてから円すいを取り出すと，水の深さは□cmになります。

 

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（1）

三角すいの底面の半径と高さの比は8cm:24cm＝1:3

 

水の量は（8×8×3.14×17）cm³
円柱の容積は（8×8×3.14×18）cm³
その差8×8×3.14×1＝（64×3.14）cm³だけ三角すいが沈めば満水になる。
満水になった時の三角すいの水面の半径を①とすれば、水に沈んでいる深さ（高さ）は③となる。よって、
①×①×3.14×③×$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝①×①×①×3.14＝64×3.14、
①＝4、③＝12cm

 

（答え）　12cm

 

（2）

＜（1）で求めた12cmよりも沈めるので水はあふれ出るとわかる＞
三角すいは18cmまで沈み、その時の水面の三角すいの半径は6cm
三角すいの沈んでいる部分の体積は（6×6×3.14×18×$ \displaystyle \frac{1}{3} $）cm³
円柱の容積は（8×8×3.14×18）cm³
三角すいを底まで沈めた時に残った水の量＝円柱の容積－三角すいの沈んでいる部分の体積＝8×8×3.14×18－（6×6×3.14×18×$ \displaystyle \frac{1}{3} $）＝52×3.14×18
これを円柱の底面積で割れば残った水の高さがわかる。
52×3.14×18÷（8×8×3.14）＝14.625

 

（答え）　14.625cm