相似な図形-2-2（広尾学園中学2015/三角形の相似比で面積比も求められる）

問題

解答

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下の図の四角形ABCDは面積が60cm²の平行四辺形です。点Eは辺BCの中点です。また，AB上に点Fをとり，CFとDEの交点をGとすると，CG：GF=3：5となります。
次の問いに答えなさい。
（1） AF：FBの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（2） 三角形FECの面積を求めなさい。
（3） ACとFDの交わる点をHとする。三角形AHFの面積を求めなさい。

 

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（1）
DEとABの延長線上の交点をSとおく。
三角形DCGと三角形SFGは相似より、CD：FS＝③：⑤、よって、AF：FB＝AF：（FS－BS）＝①：（⑤－③）＝①：②

（答え）　1：2

 

（2）
四角形ABCDは面積が60cm²、
三角形ABCの面積はその半分の30cm²、
三角形FBCは高さが三角形ABCの$ \displaystyle \frac{2}{3} $なので20cm²、
三角形FECは三角形FBCの半分の長さの底辺なので10cm²。

（答え）　10cm²

 

（3）

四角形ABCDは面積が60cm²、
三角形ABCの面積はその半分の30cm²、
三角形AFCは高さが三角形ABCの$ \displaystyle \frac{1}{3} $なので10cm²、
三角形AHFは三角形ACFの$ \displaystyle \frac{1}{4} $の長さの底辺なので$ \displaystyle \frac{10}{4} $＝2.5cm²。

（答え）　2.5cm²