三角数・四角数-2-1（桜蔭中学2011/四角数・五角数がよくわかる問題）

問題

解答

 解答を開く

 

ある数のご石が右の図のような正方形の形に並べられるときに，その数を四角数（しかくすう）といいます。はじめの4つの四角数は，1，4，9，16です。10番目の四角数は［　ア　］です。［　イ　］番目の四角数は576です。

 

また，ある数のご石が右の図のような正五角形の形に並べられるときに，その数を五角数（ごかくすう）といいます。はじめの4つの五角数は，1，5， 12， 22です。10番目の五角数は［　ウ　］です。［　エ　］番目の五角数は425です。

 

---

 

［　ア　］
集まった点の形を正方形としてとらえると、10番目の四角数は10×10＝100。

（答え）　100

 

［　イ　］
576＝□×□となる□をもとめるために素因数分解する。
576＝2×2×2×2×2×2×3×3＝（2×2×2×3）×（2×2×2×3）＝24×24
よって、576は24番目の四角数。

（答え）　24

 

［　ウ　］
（数の規則性を調べる。）

1番目の五角数は1
2番目の五角数は5=1＋4
3番目の五角数は12=1＋4＋7
4番目の五角数は22=1＋4＋7＋10
・・・
10番目の五角数は1＋4＋7＋…＋㋒＝㋑
よって、㋒がわかれば10番目の五角数㋑もわかる。
4、7、10は3ずつ増えているので9コ目の数㋒は、4、7、10、13、16、19、22、25、28より28とわかり、10番目の五角数は1＋4＋7＋…＋28＝（1＋28）×10×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝145

（答え）　145

 

［　エ　］
［　ウ　］で考えた3ずつ増えている9コ目の数㋒が28なので、28、31、34、37、40、43、46、49、52、55、…として13コ目の数40で試してみる。
（前問の答えが125、今回は425なので近い数で試す。
前問の10番目の五角数の式、（1＋28）×10×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝145を利用する。）
13コ目の数40を使うと、14番目の五角数は1＋4＋7＋…＋40＝（1＋40）×14×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝287となり足りない。
14コ目の数43を使うと、15番目の五角数は1＋4＋7＋…＋43＝（1＋43）×15×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝330となり足りない。少し飛ばした数にする。
16コ目の数49を使うと、17番目の五角数は1＋4＋7＋…＋49＝（1＋49）×17×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝425となり数が合った。

（答え）　17

 

 補足（［　ウ　］・［　エ　］の別解）

1番目の五角数は1=（1×1）＋0
2番目の五角数は5=（2×2）＋1
3番目の五角数は12=（3×3）＋1＋2
4番目の五角数は22=（4×4）＋1＋2＋3
5番目の五角数は35=（5×5）＋1＋2＋3＋4
6番目の五角数は51=（6×6）＋1＋2＋3＋4＋5
・・・
10番目の五角数は145=（10×10）＋1＋2＋3＋・・・＋9・・・［　ウ　］
・・・
16番目の五角数は376=（16×16）＋1＋2＋3＋・・・＋15
17番目の五角数は425=（17×17）＋1＋2＋3＋・・・＋16・・・［　エ　］
青字が四角数、赤字が三角数になっている。