流水算-2-4（開智中学2021/一見複雑そう、でも丁寧にダイヤグラムを書けばはっきり見えてきます）

問題

解答

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ある川の上流のP地点と下流のQ地点の間を、速さの異なる2せきの船Aと船Bが移動します。船AはP地点を出発し、Q地点に着いてから5分間滞在したのち折り返し、P地点を出発してから2時間20分後にP地点へ戻ってきました。船Bは、船AがP地点を出発してから10分後にP地点を出発し、船Aと同時にQ地点にたどり着く予定でしたが、途中のR地点でエンジンの燃料がなくなってしまったため、そこからは川の流れに乗ってQ地点まで移動したところ、予定していた到着時刻よりも29分遅れてQ地点に到着しました。また、船AがQ地点を出発してから8分後に2せきの船はすれ違いました。

（1） 船AがQ地点からP地点へ移動する際の速さと、川の流れの速さの比は何対何ですか。
（2） 船Aと船Bの静水時の速さの比は何対何ですか。
（3） 船Aが最初にR地点を通過したのは、船AがP地点を出発してから何分後ですか。

 

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（1）
㋐㋑間のかかる時間がそれぞれ8分と16分であれば速さは逆比となる。
船AがQ地点からP地点へ移動する際の速さ：川の流れの速さ＝16：8＝2：1

（答え）　2：1

 

（2）
川の流れの速さを①とすると、船Aの上りの速さは②、静水での速さは①＋②＝③、下りの速さは③＋①＝④となる。
【船Aの速さ】上り：静水：下り：川＝2：3：4：1・・・（ⅰ）

船Aは往復に135分かかるので、下りにかかる時間は135×${\displaystyle \frac{\mathrm{②}}{\mathrm{④}+\mathrm{②}}}$＝45分、上りにかかる時間は135×${\displaystyle \frac{\mathrm{④}}{\mathrm{④}+\mathrm{②}}}$＝90分。
よって、船Bが下りにかかる時間は35分。
船Aが下りにかかる時間：船Bが下りにかかる時間＝45分：35分＝9：7より、２つの船の速さは逆比となるので、船Aの下りの速さ：船Bの下りの速さ＝7：9・・・（ⅱ）

（ⅰ）×７と（ⅱ）×４で船Aの下りの速さの比を合わせる。
【船Aの速さ】上り：静水：下り：川＝⑭：㉑：㉘：⑦
船Aの下りの速さ：船Bの下りの速さ＝㉘：㊱
よって、
船Bの静水での速さ＝㊱－⑦＝㉙
船Bの上りの速さ＝㉙－⑦＝㉒（これは求めなくてもよい数字。）

船Aと船Bの静水時の速さの比は㉑：㉙

（答え）　21：29

 

（3）
（つるかめ算では時間がかかりそうなので三角形の相似を利用する。）
PQ間の距離を㉘×45分＝$\boxed{\text{1260}}$とする。川の流れの速さ⑦ではPQ間は$\boxed{\text{1260}}$÷⑦＝180分かかるので、下図の様な時間経過になる。また、相似な三角形ができるのでPRとRQの比が求められる。
116分：29分＝❹：❶となり、船Aが最初にR地点を通過したのは、
45分×${\displaystyle \frac{❹}{❹+❶}}$＝36分後となる。

（答え）　36分後