立体の切断-2-5（芝浦工業大学附属中学2022/積み重なった立方体を2回切断する）

問題

解答

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図1の一辺の長さが6cmの立方体の中に，一辺の長さが2cmの立方体を積み上げて立体㋐を作りました。立体㋐を図1の真上から見たときに，それぞれの場所に積まれた立方体の個数を表1に表します。例えば，図2の立体のときは表2となります。このとき，次の各問いに答えなさい。

（1） 立体㋐の表面積を求めなさい。
（2） 立体㋐を3点B，C，Eを通る平面で切断したとき，大きい方の立体の体積を求めなさい。
（3） （2）で体積を求めた立体をさらに，3点B，F，Hを通る平面で切断したとき，大きい方の立体の体積を求めなさい。ただし，（三角すいや四角すいの体積）＝（底面の面積）×（高さ）÷3です。

 

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（1）
前後から見た表面積2×2×8＝32
左右から見た表面積2×2×7＝28
上下から見た表面積2×2×8＝32
見えるところの表面積合計は（32＋28＋32）×2＝184cm²
見えない表面積は赤線の部分で2×2×6＝24cm²
合わせて184＋24＝208cm²

（答え）　208cm²

 

（2）
Gを含む側の体積を求める。
前後から見た断面（前） 2×2×2×3＝24
前後から見た断面（中） （2×2×2×2）＋（2×2×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2×2）＝24
前後から見た断面（奥） （2×2×2×3）＋（2×2×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2×2）＝32
合わせて24＋24＋32＝80cm³

（答え）　80cm³

 

（3）
問（2）の3図を上から見る。
数字はそれぞれの場所に積まれた立方体の個数。

Gを含む側の体積を調べる。
（前）2×2×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×4＝8
（中）（2×2×2）＋（2×2×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2）＋（2×2×2×$ \displaystyle \frac{1}{3} $）＝14$ \displaystyle \frac{2}{3} $
（奥）（2×2×2×3）＋（2×2×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2）＋（2×2×2×$ \displaystyle \frac{1}{3} $）＝30$ \displaystyle \frac{2}{3} $
合わせて8＋14$ \displaystyle \frac{2}{3} $＋30$ \displaystyle \frac{2}{3} $＝53$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm³・・・Gを含む側の体積の方が大きい

（答え）　53$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm³