立体の切断-2-4（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/切断面の形と分割された後の体積、難易度は低め）

問題

解答

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下の図は1辺の長さが6cmの立方体で，DJ＝3cm，BI＝2cmです。

（1） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，切断面の線を解答用紙の立方体に書き込みなさい。ただし，裏側の線も書くこと。
（2） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，点Gを含む立体の体積を求めなさい。
（3） （2）の点Gを含む立体をさらに点D，B，Fを通る平面で切断したとき，点Gを含む立体の体積を求めなさい。

 

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（1）
断面内にE，I，Jがあるので、EIに平行でJを通る線をつくり、さらに延長する。

（答え）　図の赤い実線が切断面の線

 

（2）
赤い三角すいと青い三角すいは体積が同じ。
よって、高さ4cmの四角柱の体積から小さな三角すいの体積を引く。
6×6×4－3×3×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2×$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝141cm³

（答え）　141cm³

 

（3）
青い図形の下部（三角柱）と上部（三角すい台）に分けて体積を求める。
下部の体積
6×6×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×4＝72cm³
上部の体積
小さな三角すいの体積3×3×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2×$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝3cm³
3×（2×2×2－1）＝21cm³
（相似な立体の体積比1：8を利用）

合わせて72＋21＝93cm³

（答え）　93cm³