立体の切断-2-2（吉祥女子中学2022/等脚台形の底面を持つ柱体を斜めに切断する）

問題

解答

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次の問いに答えなさい。

（1） 図1のような、高さが10cmの直方体ABCD-EFGHがあります。

この直方体を、図2のように、頂点Aと頂点Gの両方を通る平面で切断したところ、平面が辺BF上の点Pと、辺DH上の点Qで交わり、QH＝7cmでした。
PFの長さは何cmですか。

（2） 図3のような、高さが10cmの四角柱ABCD-EFGHがあります。四角形ABCDは、縦4cm,横15cmの長方形から図4のように2つの直角三角形を切り取った台形です。

この四角柱を、図5のように、頂点Aと頂点Gの両方を通る平面で切断したところ、平面が辺BF上の点Pと、辺DH上の点Qで交わり、QH＝5.5 cmでした。
① PGの長さはAQの長さの何倍ですか。
② PFの長さは何cmですか。

（3） 図6のような、高さが10cmの四角柱ABCD-EFGHがあります。四角形ABCDは、縦4cm,横【ア】cmの長方形から図7のように2つの直角三角形を切り取った台形です。

この四角柱を、図8のように、頂点Aと頂点Gの両方を通る平面で切断したところ、平面が辺BF上の点Pと、辺DH上の点Qで交わり、PF＝2.7cm,QH＝3.7cmでした。
【ア】にあてはまる数を求めなさい。途中（とちゅう）の式や考え方なども書きなさい。

（4） 図9のような、高さが10cmの四角柱ABCD-EFGHがあります。四角形ABCDは、縦4cm, 横【イ】cmの長方形から図10のように2つの直角三角形を切り取った台形です。

この四角柱を、図11のように、頂点Aを通る平面で切断したところ、平面が辺BF,CG,DHとそれぞれP,R,Qで交わり、QH＝6.4cmで、台形AEFPと台形RGHQの面積の差が16cm²でした。
① PFの長さとRGの長さの差は何cmですか。
② 【イ】にあてはまる数を求めなさい。

 

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（1）
三角形ADQと三角形GFPは３つの角が同じで、AD=GFなので合同。よって、RF=QD=3cm。

（答え）　3cm

 

（2）―①
三角形ADQと三角形GFPは３つの角が同じことより相似。
AD：GF＝15：11＝AQ：PG
AQ×11＝PG×15
PG＝$ \displaystyle \frac{11}{15} $×AQ

（答え）　$ \displaystyle \frac{11}{15} $倍

 

（2）―②
QD＝4.5cmなので①と同様に比から長さを求める。
PF＝$ \displaystyle \frac{11}{15} $×QD＝$ \displaystyle \frac{11}{15} $×4.5＝3.3cm

（答え）　3.3cm

 

（3）
Cを通り、ABに平行な直線がADと交わる点をJとする。
次に、Jから垂直に下した直線がAQと交わる点をKとする。
さらに、Kを通り、ADと平行な直線がDHと交わる点をLとする。
三角形AJKと三角形GFPは合同なのでKJ=PF＝2.7cm
三角形ADQと三角形KLQは相似なので、3.6cm：6.3cm＝KL（8cm）：AD
よって、ADは14cm。

（答え）　14

 

（4）―①
台形AEFPの面積＝（10＋PF）×５÷２＝25＋PF×2.5
台形RGHQの面積＝（6.4＋RG）×5÷2＝16＋RG×2.5
面積差16cm²より、
9＋PF×2.5－RG×2.5＝16
PF－RG＝2.8cm・・・PFの長さとRGの長さの差

（答え）　2.8cm

 

（4）―②
（3）と同様の手順で、各点J,K,Lを作る。
さらに、Rを通り、ADに平行な直線がBFと交わる点をMとする。
三角形AJKと三角形RMPは合同なのでMP=JK＝DL＝2.8cm、LQ＝0.8cmとなる。
三角形ADQと三角形KLQは相似なので、0.8cm：6cm＝3.6cm：【イ】
【イ】の長さは27cm。

（答え）　27