問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/流れるプールで3つのボートを動かす、（3）は難しい） 下の図のような，1周が350mのプールがあリます。このプールには図の矢印方向に毎分60mの速さで水が流れています。このプールでおもちゃのボートを動かします。 静水時に毎分90mの速さで進むおもちゃのボートA，B，Cを用意しました。 （注意：この問題は，解き方を式や言葉などを使って書きなさい。） （1） […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/理科にも役に立つ、ため池に生息するメダカの数） 太郎君は家のそばのため池に生息するメダカの数について調べることにしました。 （1） 調査のため3日間メダカを取リに行ったところ，結果は次の通リでした。 ・2日目に取れたメダカの数は初日に取れたメダカの数よリ9匹多い ・2日目に取れたメダカの数は3日目に取れたメダカの数よリ15匹多い ・初日に取れたメダカの数と […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/頭の中で立体をつくるチカラ） 図1のように，1辺の長さが1cmの立方体を6個組み合わせて立体Aを，5個組み合わせて立体Bを，4個組み合わせて立体Cを作リます。さらに，作った立体をラップで包んでできる立体を考えます。ただし，ラップはへこみがなく体積が最も小さくなるように包むものとします。図2は立体Aを図3は立体Bをそれぞれラップで包んだ立体です。 （1） 図 […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/整数（○,△）の組を探し出す） （1） $ \displaystyle \frac{2}{5} $＝$ \displaystyle \frac{1}{○} $＋$ \displaystyle \frac{1}{△} $となる整数○と△の組を2 つ答えなさい。 ただし，△は〇以上とします。 （2） $ \displaystyle \frac{2}{9} $＝ […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/三角すいの母線と底面半径の関係） 図1のように円すいの一部を切リ取った立体があリます。 この立体の側面にペンキを塗リ，立体を図2のように床に転がして色を付けます。 ただし， 円周率は3.14とします。 （1） 立体がちょうど1周して転がし始めた位置に戻ったとき，立体は何回転しましたか。 （2） 立体がちょうど1回転したとき，床についたペンキの部分の面積は何 […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/毎月2200円ずつ使うと3ヵ月で所持金がなくなり，毎月1800円ずつ使うと6ヵ月でなくなる） A君は現在，何円か所持金があり，お小遣いも毎月決まった金額をもらっています。 これから毎月2200円ずつ使うと3ヵ月で所持金がなくなり，毎月1800円ずつ使うと6ヵ月で所持金がなくなります。 （1） A君が毎月もらっている小遣いはいくらですか。 （2） A君の現在 […]
問題 問題（芝浦工業大学柏中学2022/電子マネーで買い物をすると5％が電子マネーで返ってくる） あるお店ではチョコレートを定価150円で販売しています。電子マネーで支払うと支払った金額の5％分が後日，電子マネーとして返ってきます。ある日，このお店でチョコレートが定価から2割引きになるセールを実施しました。この日にチョコレートを買い，電子マネーで支払うと，定価から何％引きで買えることになリますか […]
問題 問題（四天王寺中学2022/円周上を動く３点をグラフ化する：難問ではないが細かい作業で時間がかなり取られる） 図1のように円周上に2点S，Tがあり，点Aと点CはSから，点BはTから同時に出発しそれぞれ一定の速さで動きます。点Aは右回りに，点Bと点Cは左回りに動き，点Aと点Bは点Cの2倍の速さで動きます。また， 3点A，B，Cは他の点と出会うと，それぞれ速さを変えずに逆向きに動きます。下のグ […]
問題 問題（四天王寺中学2022/上下左右前後から面を見ると分かり易いことを覚えておこう） 1辺の長さが1cmの立方体を64個積み重ねて，1辺の長さが4cmの立方体を作ります。色がぬられた立方体がある場合は，色がぬられた立方体と，それととなり合う立方体を取り除きます。例えば，図1のように色がぬられた立方体が1つあるときは，図2のように4つの立方体を取り除いた立体ができます。 （1） 図3のように […]
問題 問題（四天王寺中学2022/複数のメダルを集めて別の色のメダルに交換する） 赤，白，黄，青，銅，銀，金の7色のメダルがあります。AさんとBさんは赤色のメダルを取るゲームをします。取ったメダルは次の規則にしたがって，必ず交換します。ただし，2人が最初に持っているメダルの枚数はともに0枚とします。 赤色のメダル2枚 ⇒ 白色のメダル1枚 白色のメダル2枚 ⇒ 黄色のメダル1枚 黄色のメダル2枚 […]
問題 問題（四天王寺中学2022/場合分けの練習、できる様になれば数え漏れなく答えが出せます） 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回続けて出たら投げるのをやめます。このとき，出た目の合計を得点とします。 （1） 得点が6点となる目の出方は何通りありますか。 （2） 得点が8点となる目の出方は何通りありますか。 解答 解答を開く 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回 […]
問題 問題（四天王寺中学2022/二等辺三角形を見つける練習、面積についてもお決まりの解法でOK） 図のように，おうぎ形ABCの中に3つの三角形があります。 辺BDと辺DE，辺ACと辺CEはそれぞれ等しい長さです。 （1） 角アの大きさと角イの大きさはそれぞれ何度ですか。 （2） 三角形ADCの面積が12cm2のとき，三角形ABDの面積は何cm2ですか。 解答 解答を開く 図のよ […]
問題 問題（四天王寺中学2022/複数の条件の合致する数字を推理しよう） Aさん，Bさん，Cさんの3人が，『ある整数』について次のように話しています。 Aさん：『ある整数』はその数と1でしか割り切れない。 Bさん：『ある整数』を3倍して，2を引いて4で割ると，割り切れて答えは19になる。 Cさん：24を7倍して『ある整数』で割ると，割り切れて答えは6になる。 3人のうち1人は『ある整数』について […]
問題 問題（四天王寺中学2022/食器洗い機と手洗いで異なる水道代、手洗いをしたのは何日間か） ある家庭では食器を手洗いすると水道代が1日112円かかり，食器洗い機を使うと1日44円かかります。食器洗い機を使い始めてから270日目までの間の何日かは，食器洗い機が故障したので手洗いをしました。 また，修理代が5600円かかったため，修理代を含めて270日間にかかった費用は，食器洗い機を270日間使 […]
問題 問題（サレジオ学院中学2022/（2）は逆比を使うか、1つずつ数え上げる） 水の入っている水そうAと水そうB，そして，水を汲（く）みだすためのポンプが何本かあリます。また，水そうAに入っている水の量は水そうBに入っている水の量の2倍です。 はじめの20分は，全てのポンプを使って水そうAの水を汲みだします。 次に，ポンプの数をちょうど半分ずつに分け，半分で水そうAの水を，もう半分で水そうBの […]
問題 問題（サレジオ学院中学2022/折った部分は角が二等分されることを利用する） 中心角が128゜のおうぎ形OABにおいて，図1のように，弧AB上にAC＝AOとなるように点Cをとリます。 次に，図2のように，点Cが直線AB上にくるようにおうぎ形を折ると，折リ目は直線ADとなリました。 このとき，図2のXは[ ア ]゜で，Yは[ イ ]°です。 解答 解答を開く 中心角が128゜ […]
問題 問題（サレジオ学院中学2022/基本的な消去算） えんぴつ5本とノート3冊を買うと660円になり，えんぴつ7本とノート5冊を買うと1012円になリます。このとき，えんぴつ1本は[ ア ]円，ノート1冊は[ イ ]円です。 解答 解答を開く えんぴつ5本とノート3冊を買うと660円になり，えんぴつ7本とノート5冊を買うと1012円になリます。このとき，えんぴつ1本は[ ア ] […]
問題 問題（サレジオ学院中学2022/混ぜる濃度を間違えた） 3%の濃さの食塩水が100gあリます。水で薄めて1%の濃さにしようとしましたが，水のかわりに間違えて2%の食塩水を加えてしまいました。このとき，できあがった食塩水の濃さは□%です。 ただし，小数第3位を四捨五入して小数第2位までの数で答えること。 解答 解答を開く 3%の濃さの食塩水が100gあリます。水で薄めて1%の […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/普段、丁寧な作図作業をしていないと・・・） 栄くんは次の問題に取り組んでいます。 《問題》 角AOB=90゜，辺AB=5cmの直角二等辺三角形OABの辺AB上にAP=1cm，PB=4cmとなる点Pをとり，辺OB上に角OPT=45゜となる点Tをとります。このときOTとTBの長さの比を求めなさい。 栄くんが悩んでいると，東さんが […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/切断面の形と分割された後の体積、難易度は低め） 下の図は1辺の長さが6cmの立方体で，DJ＝3cm，BI＝2cmです。 （1） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，切断面の線を解答用紙の立方体に書き込みなさい。ただし，裏側の線も書くこと。 （2） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，点Gを含む立体の体積を求めな […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/前半の問題で導入が用意されているが、場合分けの手法に慣れていないと厳しい） [N]は整数Nを4で割った余りを表します。たとえば[10]＝2，[11]＝3，[12]＝0となります。また，AとBはどちらも2桁の整数とします。 （1） [A]＝0となるAは［ ア ］個，[A]＝1となるAは［ イ ］個，[A]＝2となるA は［ ウ ］個，[A] […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/カンで答えても何となく正解する問題） 下の図は，半径が1cmの円3つがすべて点Aを通るようにかいた図です。太い線の長さは□cmです。ただし，円周率は3.14とします。 解答 解答を開く 下の図は，半径が1cmの円3つがすべて点Aを通るようにかいた図です。太い線の長さは□cmです。ただし，円周率は3.14とします。 &nbs […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/この年は類似問題が各学校で出題された） 2022のように2種類の数字でつくられる4けたの整数は，2022も含めて□個あります。 解答 解答を開く 2022のように2種類の数字でつくられる4けたの整数は，2022も含めて□個あります。 【0を含まない場合】 2種類の数字でつくられる4けたの整数の並 […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/逆比の重要性を感じられる問題） 同じ高さまで水が入った2つの直方体の水そうがあります。2つの水そうの容積の比は9：32で，大きな水そうは小さな水そうの2倍の高さがあります。2つの水そうそれぞれに，さらに675mLずつ水を人れると，小さな水そうは全体の77%，大きな水そうは全体の28％まで水が入りました。大きな水そうにはじめから入っていた水 […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/速さとかかる時間は逆比、その典型的な問題） 栄くんと東さんは学校を同時に出発して同じ道を通って駅に向かいました。 栄くんは学校を出発した2分後に忘れ物をしたことに気付き，すぐに学校に向かって引き返したところ，30秒後に東さんとすれ違いました。栄くんは学校に到着した2分後に再び駅に向かって歩いて行ったところ，栄くんと東さんは同時に駅に到着し […]
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/錯覚を起こしてしまいそうな分数で出来た数列） 次のような規則で分数が並んでいます。 73 番目の分数は□です。 解答 解答を開く 次のような規則で分数が並んでいます。 73 番目の分数は□です。 分母について 求める分数の分母を△とし、1＋2＋3＋…＋△＝（1＋△）×△÷２が73に近くなるものを […]
