面積比-2-5（淳心学院中学2022/三角形の辺の比の便利な使い方）

問題

解答

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右の図の三角形ABCは正三角形で，AD：DB=1：1，BE：EF：FC=1：2：1，CG：GA=3：1です。次の問いに答えなさい。

（1） DH：HFを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（2） 三角形EFHと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（3） 三角形DHGと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（4） EH：HGを最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

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（1）
AG：GC＝BE：EC＝①：③よりBAとEGは平行なので△FBDと△FEHは相似。
BE：EF＝①：②なのでDH：HF＝1：2

（答え）　1：2

 

（2）
（辺の比から面積比を求める）
△ABCの面積×$ \displaystyle \frac{②}{④} $×$ \displaystyle \frac{③}{④} $＝△DBFの面積
△ABCの面積×$ \displaystyle \frac{3}{8} $＝△DBFの面積
△DBFの面積×$ \displaystyle \frac{②}{③} $×$ \displaystyle \frac{❷}{❸} $＝△EFHの面積
△DBFの面積×$ \displaystyle \frac{4}{9} $＝△EFHの面積
このことより、
△ABCの面積×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＝△EFHの面積
三角形EFHと三角形ABCの面積の比=1：6

（答え）　1：6

 

（3）
（辺の比から面積比を求める）
△ABCの面積＝④×④＝$ \fbox{16} $
△ADGの面積＝①×②＝$ \fbox{2} $
△DBFの面積＝②×③＝$ \fbox{6} $
△GFCの面積＝①×③＝$ \fbox{3} $
△GDFの面積＝$ \fbox{16} $－$ \fbox{2} $－$ \fbox{6} $－$ \fbox{3} $＝$ \fbox{5} $

△DHGの面積＝△GDFの面積×$ \displaystyle \frac{❶}{❸} $＝$ \fbox{5} $×$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝$ \fbox{\( \displaystyle \frac{5}{3} \)} $
△DHGの面積：△ABCの面積＝$ \fbox{\( \displaystyle \frac{5}{3} \)} $：$ \fbox{16} $＝5：48

（答え）　5：48

 

（4）
△DBEの面積＝②×①＝$ \fbox{2} $
△DEFの面積＝$ \fbox{6} $－$ \fbox{2} $＝$ \fbox{4} $
△DEFと△GDFの底辺をDFとすると、面積比が4：5なので高さの比EH：HGも$ \fbox{4} $：$ \fbox{5} $

（答え）　4：5