面積比-2-5（淳心学院中学2022/三角形の辺の比の便利な使い方）

問題

解答

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右の図の三角形ABCは正三角形で，AD：DB=1：1，BE：EF：FC=1：2：1，CG：GA=3：1です。次の問いに答えなさい。

（1） DH：HFを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（2） 三角形EFHと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（3） 三角形DHGと三角形ABCの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（4） EH：HGを最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

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（1）
AG：GC＝BE：EC＝①：③よりBAとEGは平行なので△FBDと△FEHは相似。
BE：EF＝①：②なのでDH：HF＝1：2

（答え）　1：2

 

（2）
（辺の比から面積比を求める）
△ABCの面積×${\displaystyle \frac{\mathrm{②}}{\mathrm{④}}}$×${\displaystyle \frac{\mathrm{③}}{\mathrm{④}}}$＝△DBFの面積
△ABCの面積×${\displaystyle \frac{3}{8}}$＝△DBFの面積
△DBFの面積×${\displaystyle \frac{\mathrm{②}}{\mathrm{③}}}$×${\displaystyle \frac{❷}{❸}}$＝△EFHの面積
△DBFの面積×${\displaystyle \frac{4}{9}}$＝△EFHの面積
このことより、
△ABCの面積×${\displaystyle \frac{1}{6}}$＝△EFHの面積
三角形EFHと三角形ABCの面積の比=1：6

（答え）　1：6

 

（3）
（辺の比から面積比を求める）
△ABCの面積＝④×④＝$\boxed{\text{16}}$
△ADGの面積＝①×②＝$\boxed{\text{2}}$
△DBFの面積＝②×③＝$\boxed{\text{6}}$
△GFCの面積＝①×③＝$\boxed{\text{3}}$
△GDFの面積＝$\boxed{\text{16}}$－$\boxed{\text{2}}$－$\boxed{\text{6}}$－$\boxed{\text{3}}$＝$\boxed{\text{5}}$

△DHGの面積＝△GDFの面積×${\displaystyle \frac{❶}{❸}}$＝$\boxed{\text{5}}$×${\displaystyle \frac{1}{3}}$＝$\boxed{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$
△DHGの面積：△ABCの面積＝$\boxed{{\displaystyle \frac{5}{3}}}$：$\boxed{\text{16}}$＝5：48

（答え）　5：48

 

（4）
△DBEの面積＝②×①＝$\boxed{\text{2}}$
△DEFの面積＝$\boxed{\text{6}}$－$\boxed{\text{2}}$＝$\boxed{\text{4}}$
△DEFと△GDFの底辺をDFとすると、面積比が4：5なので高さの比EH：HGも$\boxed{\text{4}}$：$\boxed{\text{5}}$

（答え）　4：5