問題
面積が6cm2の正六角形ABCDEFがあります。この正六角形の辺FA,BC,DE上に，
FG：GA＝BH：HC＝DI：IE＝2：1
となるような点G,H,Iをとリます。また，直線AIとCGが交わる点をJ，CGとEHが交わる点をK，EHとAIが交わる点をLとします。以下の問いに答えなさい。
ただし，右の図は正確な図ではあリません。
（1） 3点A,C,Gを頂点とする三角形ACGの面積を求めなさい。
（2） 三角形AJGの面積を求めなさい。
（3） 三角形JKLの面積を求めなさい。
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解答
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面積が6cm2の正六角形ABCDEFがあります。この正六角形の辺FA,BC,DE上に，
FG：GA＝BH：HC＝DI：IE＝2：1
となるような点G,H,Iをとリます。また，直線AIとCGが交わる点をJ，CGとEHが交わる点をK，EHとAIが交わる点をLとします。以下の問いに答えなさい。
ただし，右の図は正確な図ではあリません。（1） 3点A,C,Gを頂点とする三角形ACGの面積を求めなさい。
（2） 三角形AJGの面積を求めなさい。
（3） 三角形JKLの面積を求めなさい。（1）
正六角形は正三角形6個で出来上がっているので、三角形ABCと三角形DEFは、それぞれ正三角形1個と同じ面積。よって、四角形ACDFの面積は4cm2。
三角形ACGの面積は、四角形ACDFの$ \displaystyle \frac{1}{6} $なので$ \displaystyle \frac{4}{6} $＝$ \displaystyle \frac{2}{3} $cm2。（答え） $ \displaystyle \frac{2}{3} $cm2
（2）
同じ大きさの正三角形を3つ追加すると、直線AIと直線FEの延長線上の交点Mは、追加した正三角形の頂点と一致するとわかる。
AG：MC＝1：6なので、JG：JC＝1：6となる。
（1）より、三角形ACGの面積が分かっているので、三角形AJGの面積＝三角形ACGの面積×$ \displaystyle \frac{1}{7} $＝$ \displaystyle \frac{2}{3} $×$ \displaystyle \frac{1}{7} $＝$ \displaystyle \frac{2}{21} $cm2。（答え） $ \displaystyle \frac{2}{21} $cm2
（3）
正三角形DMEの面積が1cm2より、三角形IMEの面積は$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm2。
三角形IMEと三角形AMNは相似な三角形で相似比が1：3、この相似比を使うと三角形AMNの面積は$ \displaystyle \frac{1}{3} $×$ \displaystyle \frac{3}{1} $×$ \displaystyle \frac{3}{1} $＝3cm2。
四角形ALEFの面積＝三角形AMNの面積－正三角形AFNの面積－三角形ELIの面積（三角形AJGと同じ）－三角形IMEの面積＝3－1－$ \displaystyle \frac{2}{21} $－$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝$ \displaystyle \frac{11}{7} $。
四角形ALEFの面積=四角形CJABの面積=四角形EKCDの面積なので、三角形JKLの面積＝6－四角形ALEFの面積×3=6－$ \displaystyle \frac{11}{7} $×3＝$ \displaystyle \frac{9}{7} $＝1$ \displaystyle \frac{2}{7} $cm2（答え） 1$ \displaystyle \frac{2}{7} $cm2
正六角形は正三角形6個で出来上がっているので、三角形ABCと三角形DEFは、それぞれ正三角形1個と同じ面積。よって、四角形ACDFの面積は4cm2。
同じ大きさの正三角形を3つ追加すると、直線AIと直線FEの延長線上の交点Mは、追加した正三角形の頂点と一致するとわかる。
正三角形DMEの面積が1cm2より、三角形IMEの面積は$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm2。
