巻き付くひも-2-1（東邦大学付属東邦中学2016/八面体の頂点につながったヒモが届く範囲）

問題

解答

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右の図のような、大きさの等しい正三角形を八つ合わせてできる立体ABCDEFがあります。BDの長さは4cmです。頂点Bに、この立体の1辺と等しい長さのひもの先端をつけました。
このとき、次の問いに答えなさい。

（1）この立体の体積を求めなさい。

（2）この立体の表面上で、ひものもう一方の先端（せんたん）Pが届く範囲の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とし、答えは小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

 

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（1）

平面BCDEは正方形であり、その対角線同士の交わる点をGとする。点Gから立体の各頂点A～Fまでの距離は全て等しい。この立体は正八面体であり、その特徴が分かれば（１）は解ける。

四角すいA-BCDEの体積の2倍が求める体積となる。
正方形BCDEの面積＝4×4÷2＝8cm²
高さAG＝2cm
四角すいA-BCDEの体積=8×2÷3＝$ \displaystyle \frac{16}{3} $
求める立体の体積＝$ \displaystyle \frac{16}{3} $×2=$ \displaystyle \frac{32}{3} $=10$ \displaystyle \frac{2}{3} $

 

（答え）　10$ \displaystyle \frac{2}{3} $cm³

 

（2）

8面のうち、図の2面だけに着目して平面で考えると、ひもの届く範囲は中心角60°のおうぎ形になる。

 

8面全てでは、ひもの届く範囲は図の様になり、辺ABの長さをMとすれば求める面積は、
M×M×3.14×$ \displaystyle \frac{60}{360} $×4となる。・・・（ア）

 

Mの長さを知りたいが小学校の範囲では直角二等辺三角形のMの長さは求められない。だが、（ア）の式に含まれるM×Mであれば面積として求められ、この方法を使った問題はよく見かける。

 

M×Mで求められる面積は、三角形ABGの面積の4倍なので、
M×M＝（2×2÷2）×4＝8とわかり、（ア）の式に当てはめれば、
8×3.14×$ \displaystyle \frac{60}{360} $×4＝16.7$\cancel{4}\cancel{6}$・・・＝16.75

（答え）　16.75cm²