転がる図形-2-4（久留米大学附設中学2022/最後の問題は図形問題をやりこんでいれば見たことがあるはず）

問題

解答

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下の（ 図1）のようなPQ=QR=3cmの直角二等辺三角形PQRがあり、2辺PQ,QR上を、2辺の長さが1cm, 2cmの長方形ABCDが①から④の状態まですべることなく転がっていきます。また、BCの真ん中の点をEとします。（円周率は3.14）

（1） ①から④の状態になるまでにEが動いた道のりを、解答用紙の図の中にかきなさい。
（2） ①から②の状態になるまでにAEが通ってできる図形の面積は何cm²ですか。
（3） ②から③の状態になるまでにAEが通ってできる図形の面積は何cm²ですか。
（4） 下の（図2）のように、③，④の長方形の頂点をそれぞれT,Sとします。次の（ア）、（イ）に答えなさい。
（ア） 四角形QRSTの面積は何cm²ですか。
（イ） ③から④の状態になるまでにAEが通ってできる図形の面積は何cm²ですか。

 

 

 

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（1）

（答え）

 

（2）
1×1×2×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $＝1.57cm²

 

詳しい解き方はここを参照【正方形の面積（半径×半径）が分かっている場合に円の面積を求める問題】

（答え）　1.57cm²

 

（3）
等積移動できる部分があるので、
1×1×3.14×$ \displaystyle \frac{3}{4} $－□×□×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{2} $－1×1×$ \displaystyle \frac{1}{2} $が求める面積の式
□×□は面積として求められるので1×1×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝$ \displaystyle \frac{1}{2} $
よって、
1×1×3.14×$ \displaystyle \frac{3}{4} $－$ \displaystyle \frac{1}{2} $×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{2} $－1×1×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝1.57－0.5＝1.07

（答え）　1.07cm²

 

（4）―（ア）
求める面積の図形は台形。
（1＋2）×3÷2＝4.5

（答え）　4.5cm²

 

（4）―（イ）
求める面積の図形はその一部を等積移動すると扇形となる。
（□×□－1×1）×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $が求める面積の式
□×□は図より、5cm²
よって、
（5－1×1）×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $＝3.14cm²

（答え）　3.14cm²