転がる図形-2-2（横浜共立学園中学2011/4分の3円の周りを転がる小さな円）

問題

解答

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半径6cm, 中心角270゜のおうぎ形があります。下の図のように，半径2cmの円が，おうぎ形の周りを矢印の方向におうぎ形に接しながら1周して，元の位置に戻ります。
次の□に当てはまる数を求めなさい。（円周率は3.14とします。）
（1） おうぎ形の周のうち，円と接することができる部分の長さは□cmです。
（2） 円の中心が動いてできる線の長さは□cmです。
（3） 円が通ったあとにできる図形の面積は□cm²です。

 

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（1）
黄色線が、円と接することができる部分の長さなので、6×2×3.14×$ \displaystyle \frac{270}{360} $＋4＋4=36.26

 

（答え）　36.26cm

 

（2）
赤線が、円の中心が動いてできる線の長さで、半径8cmと半径2cmの円の一部と直線からなるので、

8×2×3.14×$ \displaystyle \frac{270}{360} $＋2×2×3.14×$ \displaystyle \frac{90}{360} $×2＋4＋4=51.96

 

（答え）　51.96cm

 

（3）
灰色の色の付いている部分が、円が通ったあとにできる図形の面積。
【解法1】：（2）で求めた長さを使い＜縦×横＞で求める方法
【解法2】：全体の面積から穴あき部分を引く方法

【解法1】
4cm・・・縦と見立てる
×（51.96－2－2）cm・・・横と見立てる（半径2ｃｍの円の高さ「縦」が通ったところ以外は抜かす）
＋2cm×2cm×3つ・・・直角に曲がるところに1辺2cmの正方形が3つ
＋2cm×2cm×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $・・・半径2cmの円の4分の1円
＝206.98

【解法2】
10cm×10cm×3.14×$ \displaystyle \frac{3}{4} $・・・半径10cmの円の4分の3円
＋4cm×4cm×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $×2・・・半径4cmの円の4分の1円が2つ
＋2cm×2cm×8・・・直角に曲がるところに1辺2cmの正方形が8つ
－6cm×6cm×3.14×$ \displaystyle \frac{3}{4} $・・・穴あき部分（半径6cmの円の4分の3円）
－（2cm×2cm－2cm×2cm×3.14×$ \displaystyle \frac{1}{4} $）・・・穴あき部分（半径2cmの円の角）
＝206.98

 

（答え）　206.98cm²