数の性質-2-1（江戸川学園取手中学2021/式の特徴を見つけよう）

問題

解答

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下の（例）のように，同じ整数を3回かけた数の答えは，連続する奇数の和で表すことができます。
（例）
2×2×2=3＋5
3×3×3=7＋9＋11
4×4×4=13＋15＋17＋19
5×5×5=21＋23＋25＋27＋29

このとき，次の問いに答えなさい。

（1） 6×6×6を連続する奇数の和で表しなさい。
（2） 10×10×10を連続する奇数の和で表したとき，その奇数の中で一番小さい奇数と一番大きい奇数の和を求めなさい。
（3） （2×2×2）＋（3×3×3）＋（4×4×4）＋・・・＋（20×20×20）を求めなさい。答えだけでなく，途中の計算や考え方も書きなさい。

 

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式の特徴を調べる。
2×2×2=3＋5・・・左辺は偶数の2、右辺の足す数は２個、右辺の真ん中の数は抜けている4（＝2×2）
3×3×3=7＋9＋11・・・左辺は奇数の3、右辺の足す数は３個、右辺の真ん中の数は９（＝3×3）
4×4×4=13＋15＋17＋19・・・左辺は偶数の4、右辺の足す数は4個、右辺の真ん中の数は抜けている16（＝4×4）
5×5×5=21＋23＋25＋27＋29・・・左辺は奇数の5、右辺の足す数は5個、右辺の真ん中の数は25（＝5×5）

（1）
上述の特徴より、
6×6×6は、左辺は偶数の6、右辺の足す数は6個、右辺の真ん中の数は抜けている36（＝6×6）となる。よって、
6×6×6＝31＋33＋35＋37＋39＋41

（答え）　6×6×6＝31＋33＋35＋37＋39＋41

 

（2）
上述の特徴より、
10×10×10は、左辺は偶数の10、右辺の足す数は10個、右辺の真ん中の数は抜けている100（＝10×10）となる。よって、
10×10×10=9１＋93＋95＋97＋99＋101＋103＋105＋107＋109
一番小さい奇数は9１、一番大きい奇数は109、その和は200。

（答え）　200

 

（3）
上述の特徴より、
20×20×20は、左辺は偶数の20、右辺の足す数は20個、右辺の真ん中の数は抜けている400（＝20×20）となる。よって、
20×20×20＝・・・＋399＋401＋403＋405＋407＋409＋411＋413＋415＋417＋419

（2×2×2）＋（3×3×3）＋（4×4×4）＋・・・＋（20×20×20）は3から419までの連続した209個の奇数の和となる。
3＋5＋・・・＋419＝（3＋419）×209÷2＝44099

（答え）　44099