回転体-2-3（攻玉社中学2022/前半は簡単だが後半はやや難問）

問題

解答

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右の図のように、正三角形のそれぞれの辺の真ん中の点と頂点を結ぶ直線は3本引くことができます。この3本は1点Aで交わり、PA：AQ ＝2：1となります。
また、正方形の2本の対角線の交わる点をBとします。このような2つの点A、Bをそれぞれ「正三角形の中心」「正方形の中心」と呼ぶことにします。

（1） 図のように、1辺の長さが6cmの立方体アのそれぞれの面の中心を頂点とする立体イを考えます。このとき、立体イの体積は、立方体アの体積の何倍ですか。

（2） （1）の図について、立方体アと立体イを、点W，X，Y，Zを通る平面で切断しました。次の図は、立方体アの断面図です。この図の中に立体イの切断面を、斜線をつけてかきなさい。

（3） 立方体アの頂点Wと頂点Yをまっすぐに結んだ直線は、立体イの2つの面と交わります。この2つの面と交わる点を、Wに近いほうをS、Yに近いほうをTとします。STの長さとWYの長さの比を求めなさい。

 

立体イには8つの面があり、すべて正三角形です。この立体イのそれぞれの面の中心を頂点とする立体ウを考えます。

 

（4） 立体ウの体積は、立方体アの体積の何倍ですか。

（5） 右の図のように、立体イと立体ウを直線LMを軸として1回転させました。立体イが回転してできる立体の体積は、立体ウが回転してできる立体の体積の何倍ですか。

 

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（1）
（立体イは正八面体）
どの面から見ても図のように見える。
立方体アの体積は、6×6×6＝216cm³
立体イの体積は、6×6×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×3×$ \displaystyle \frac{1}{3} $×2＝36cm³
36÷216＝$ \displaystyle \frac{1}{6} $

（答え）　$ \displaystyle \frac{1}{6} $倍

 

（2）
（1）の図がヒント、赤線が切断面を上から見たところ。

（答え）

 

（3）
（2）の答えの図を利用し、相似な三角形の比から図の様な比となるので、ST：WY＝②：⑥＝1：3。

（答え）　1：3

 

（4）
（立体ウは立方体）
図は外側の立方体の各面から見たもので、どの面から見ても同じ。また、問題文の「PA：AQ ＝2：1」のことより、図の様に①：②の比となる。

（3）の答えの図と平面から見た図を合わせると、大小の立方体の平面で見た対角線の長さが、②：⑥＝1：3の比であることがかわる。
よって、1辺の長さの比も同じことより、体積比は1×1×1：3×3×3＝1：27となる。
立体ウの体積は、立方体アの体積の$ \displaystyle \frac{1}{27} $倍。

（答え）　$ \displaystyle \frac{1}{27} $倍

 

（5）
前問で求まった比を入れ、立体イで作られる上下の円すいの半径は△とする。
立体イが回転してできる立体の体積は、
△×△×3.14×❸×$ \displaystyle \frac{1}{3} $（❸にしているので円すい２つ分）
立体ウが回転してできる立体の体積は、
②×②×3.14×❶
ここで、△×△＝③×③×2より、
立体イで作られる立体の体積：立体ウで作られる立体の体積
＝③×③×2×3.14×❸×$ \displaystyle \frac{1}{3} $：②×②×3.14×❶
＝⑱×❶：④×❶
＝⑨：②
立体イが回転してできる立体の体積は、立体ウが回転してできる立体の体積の$ \displaystyle \frac{9}{2} $倍。

（答え）　$ \displaystyle \frac{9}{2} $倍　（4.5倍）