最大公約数・最小公倍数-2-3（頌栄女子学院中学2022/赤・青・緑のランプが点灯・消灯をくり返す）

問題

解答

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赤・青・緑の3つのランプがあり，2021年1月1日は赤・青・緑すべてのランプが点灯していました。以降，以下のように点灯・消灯をくり返します。
赤いランプは1日点灯すると2日消灯
青いランプは1日点灯すると6日消灯
緑のランプは1日点灯すると□日消灯
また，2022年2月1日までの間に，赤・青・緑すべてのランプが点灯していたのは5日間でした。このとき，次の問いに答えなさい。

（1） 赤と青のランプが両方点灯していたのは，2021年の間で何日間か求めなさい。
（2） □に当てはまる1けたの整数を求めなさい。
（3） 2021年5月13日に点灯しているランプの色を答えなさい。なお，答えの求め方も説明しなさい。
（4） 2022 年2 月1 日までの間で，赤・青・緑すべてのランプが消灯している日は何日間か求めなさい。

 

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（1）
2021年は365日。
赤いランプは1＋2＝3日間、青いランプは1＋6＝7日でひとまとめとする。
3と7の最小公倍数21より、365÷21=17余り8。
あまり8の初日はランプが点灯するので17＋1＝18日。

（答え）　18日

 

（2）
2021年1月1日から2022年2月1日までは365＋31＋1＝397日。
397÷（5日－1日）＝99余り1　⇒　3色のくり返す日数の最小公倍数が99に近い日を考える。
3×7×4＝84　〇（3色のくり返す日数の最小公倍数）
3×7×5＝105　×
397÷84＝4余り61　⇐　4＋1＝5日となるので□は4－1＝3となる。

（答え）　3

 

（3）
31＋28＋31＋30＋13=133日。
赤：133÷3＝44あまり1（最後の日が余りの1日で、その日が点灯する日）
青：133÷7＝19あまり0（余りが無いので最後の日は消灯する日）
緑：133÷4＝33あまり1（最後の日が余りの1日で、その日が点灯する日）

（答え）　赤と緑

 

（4）
赤が点灯する日：397÷3＝132あまり1（点灯する日は133日）
青が点灯する日：397÷7＝56あまり5（点灯する日は57日）
緑が点灯する日：397÷4＝99あまり1（点灯する日は100日）

赤と緑が同時に点灯する日：397÷12＝33あまり1（点灯する日は34日）
赤と青が同時に点灯する日：397÷21＝18あまり19（点灯する日は19日）
青と緑が同時に点灯する日：397÷28＝14あまり5（点灯する日は15日）

赤と青と緑が同時に点灯する日：397÷84＝4あまり61（点灯する日は5日）

赤と緑だけ同時に点灯する日：34－5＝29日
赤と青だけ同時に点灯する日：19－5＝14日
青と緑だけ同時に点灯する日：15－5＝10日

これらをベン図したのが下記の図。

すべてのランプが消灯している日＝397－（85＋28＋56＋14＋10＋29＋5）＝170日。

（答え）　170日