場合の数-2-7（駒場東邦中学2022/3進法のコインで買い物をする）

問題

解答

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0以上9以下の整数が書かれたコインが1枚ずつあり，
⓪＝1円相当，①＝3円相当，②＝9円相当，③＝27円相当，・・・のように，
書かれた数字が1ふえるごとに相当金額が3倍になる，仕組みになっています。この各コインを1枚ずつ持って買い物をするとき，次の問いに答えなさい。ただし，おつりにおいても同じ種類のコインは1枚ずつしかなく，やりとりするコインの総数もできる限り少なくなるようにするものとします。

（1） ⓪，①，②，③の4枚のコインを使って買い物をするとき，次の空欄ア～ウに適する数を求めなさい。
おつりをもらわない金額は［ア］通り，
おつりで1枚のコインをもらう金額は［イ］通り，
おつりで2枚のコインをもらう金額は［ウ］通りあります。

（2） 2022円の品物をこのコインで買うことができますか。できる場合は，そのコインのやりとりを具体的に答え，できない場合は×を書きなさい。

 

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（1）
【おつりをもらわない金額は［ア］通り】
作れる金額が何通りかを数えるものなので、
コイン１枚で作れる金額は、４枚のコインがあるので4通り
⓪，①，②，③
コイン2枚で作れる金額は、4枚の中から2枚を選ぶので$ \displaystyle \frac{4×3}{2×1} $＝6通り
⓪①，⓪②，⓪③，①②，①③，②③
コイン3枚で作れる金額は、４枚の中から１枚を除く選び方なので4通り
⓪①②，⓪①③，⓪②③，①②③
コイン４枚で作れる金額は、１通り
⓪①②③

合計　4＋６＋４＋１＝15通り・・・［ア］

【おつりで1枚のコインをもらう金額は［イ］通り】
［ア］より、
金額が⓪のとき、おつりなし
金額が①のとき、おつり⓪・・・1通り
金額が②のとき、おつり⓪，①・・・2通り
金額が③のとき、おつり⓪，①，②・・・3通り
金額が⓪①のとき、おつりなし
金額が⓪②のとき、おつり①・・・1通り
金額が⓪③のとき、おつり①，②・・・2通り
金額が①②のとき、おつり⓪・・・1通り
金額が①③のとき、おつり⓪，②・・・2通り
金額が②③のとき、おつり⓪，①・・・2通り
金額が⓪①②のとき、おつりなし
金額が⓪①③のとき、おつり②・・・1通り
金額が⓪②③のとき、おつり①・・・1通り
金額が①②③のとき、おつり⓪・・・1通り
金額が⓪①②③のとき、おつりなし

合計　1＋2＋3＋1＋2＋1＋2＋2＋1＋1＋1=17通り・・・［イ］

【おつりで2枚のコインをもらう金額は［ウ］通り】
［ア］より、
金額が⓪のとき、おつりなし
金額が①のとき、おつり⓪×
金額が②のとき、おつり⓪①・・・1通り
金額が③のとき、おつり⓪①，⓪②，①②・・・3通り
金額が⓪①のとき、おつりなし
金額が⓪②のとき、おつり①×
金額が⓪③のとき、おつり①②・・・1通り
金額が①②のとき、おつり⓪×
金額が①③のとき、おつり⓪②・・・1通り
金額が②③のとき、おつり⓪①・・・1通り
金額が⓪①②のとき、おつりなし
金額が⓪①③のとき、おつり②×
金額が⓪②③のとき、おつり①×
金額が①②③のとき、おつり⓪×
金額が⓪①②③のとき、おつりなし

合計　1＋3＋1＋1＋1=7通り・・・［ウ］

（答え）　アは15　，イは17　，ウは7

 

（2）
⓪・・・1円
①・・・3円
②・・・9円
③・・・27円
④・・・81円
⑤・・・243円
⑥・・・729円
⑦・・・2187円
2187－2022＝165
243－81＝162
165－162＝3
このことより、2268円（⑦＋④）－246円（⑤＋①）=2022円となる。

（答え）　④と⑦を出して、お釣りの①と⑤を受け取る