場合の数-2-2（浅野中学2022/どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通り？）

1 問題
2 解答

問題

問題（浅野中学2022/どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通り？）

縦4個、横4個の合計16個のマス目のそれぞれに、1、2、3、4いずれかの数字を入れていきます。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列といいます。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方が何通りあるかについて考えます。
［図1］はこの入れ方に従って数字を入れた一例です。

まず、［図2］のように、1行目に左から1、2、3、4の順に数字が入っている場合について考えます。
続いて1列目の残りの3つのマス目に、［図3］のように、上から順に2、3、4と数字を入れます。

（1）
［図4］のように2行2列日に1を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方は2通りあります。この2通りの数字の入れ方を解答用紙の2つの図のマス目に書き入れなさい。

以下、＜ア＞～＜キ＞にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

（2）
［図5］のように2行2列日に3を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方は［ア］通り、［図6］のように2行2列目に4を入れたとき、残り8マスの数字の入れ方は［イ］通りあります。このことと（1）の結果を用いて、［図3］の状態の残り9マスの数字の入れ方は全部で［ウ］通りあるとわかります。

（3）
（2）のようにして16マスすべて埋（う）まった数字の並びのそれぞれについて、1行目は動かさずに、2～4行目だけを行ごと入れ替（か）えることで、異なる数字の並びを作ることができます。
2、3、4の3つの数字を一列に並べる並べ方は［エ］通りあるので、これらのことと（2）の結果を用いて、［図2］の状態の残り12マスの数字の入れ方は全部で［オ］通りあるとわかります。

（4）
すべてのマス目が空白の状態のとき、1行目の4つのマス目に1、2、3、4の数字を同じ数字が1回しか現れないように入れる入れ方は全部で［カ］通りあります。このことと（3）の結果を用いて、この16個のマス目の数字の入れ方は全部で［キ］通りあるとわかります。