場合の数-2-12（聖光学院中学2022/1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります）

問題

解答

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1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります。
このとき，次の問いに答えなさい。

（1）15個の玉の中から5個の玉を選んで一列に並べる並べ方のうち，左から順に赤，赤，白，白，白と並ぶような玉の並べ方は全部で何通りありますか。

（2）15個の玉の中から3個の玉を選んで一列に並べます。玉に書かれた数字を左から百の位，十の位，ーの位として3桁の数を作るとき，

（ア）3桁の数が144となるような玉の並べ方は全部で何通りありますか。
（イ）3桁の数が18の倍数となるような玉の並べ方は全部で何通りありますか。

（3）15個の玉の中から4個の玉を選んで一列に並べ，玉に書かれた数字を左から千の位，百の位，十の位，ーの位として4桁の数を作ることを考えます。
いま，ある4個の玉を選んだところ，それぞれの並べ方から作られる数の総和は，106656となりました。玉に書かれている4つの数の組み合わせとして考えられるものを，下の例のかたちですべて答えなさい。
例3，2，2，4　→　小さい順に（2，2，3，4）

 

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（1）
左から１つ目の赤の選び方は5通り、
左から2つ目の赤の選び方は残りの4通り、
左から3つ目の白の選び方は5通り、
左から4つ目の白の選び方は残りの4通り、
左から5つ目の白の選び方は残りの3通り、
よって、5×4×5×4×3＝1200通り。

（答え）　1200通り

（2）ー（ア）
左から１つ目の1の選び方は3通り、
左から2つ目の4の選び方は3通り、
左から3つ目の4の選び方は残りの2通り、
よって、3×3×2＝18通り。

（答え）　18通り

（2）ー（イ）
条件に合う3桁の数字は、
144・234・252・324・342・414・432・522の8個。

144・252・414・522はそれぞれ3×3×2＝18通りなので計72通り
234・324・342・432はそれぞれ3×3×3＝27通りなので計108通り
合わせて72＋108＝180通り

（答え）　180通り

（4）
4つの玉をA・B・C・Dとする。
その並び方は4!=4×3×2×1＝24通り、これらを式で表すと、

４桁の数ABCDは1000×A＋100×B＋10×C＋D
４桁の数ABDCは1000×A＋100×B＋10×D＋C
４桁の数ACBDは1000×A＋100×C＋10×B＋D
…
…
…
４桁の数DCBAは1000×D＋100×C＋10×B＋A

の24個の式となり、全ての和は、
（A＋B＋C＋D）×6×1000＋（A＋B＋C＋D）×6×100＋（A＋B＋C＋D）×6×10＋（A＋B＋C＋D）×6

さらにまとめて、
（A＋B＋C＋D）×（6000＋600＋60＋6）＝（A＋B＋C＋D）×6666
これが106656となるので
（A＋B＋C＋D）×6666＝106656
よって、A＋B＋C＋D＝16とわかる。

和が16となるのは（1，5，5，5），（2，4，5，5），（3，3，5，5），（3，4，4，5）の４つ。

（答え）　（1，5，5，5），（2，4，5，5），（3，3，5，5），（3，4，4，5）