図形上を動く点-1-4（公文国際学園中等部2022/前半の問がヒント、完答を目指しましょう）

問題

解答

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周囲の長さが等しい長方形ABCD と直角三角形ABEが図のように重なっていて、さらに長方形の対角線ACを引きます。辺CDと辺BEの交点をF、対角線ACと辺BEの交点をGとします。
点Pは秒速2cmで長方形の辺上を点Aから出発して反時計回り（点Bの方へ）に動きます。点Qは秒速3cmで直角三角形の辺上を点Eから出発して反時計回り（点Aの方へ）に動いて1周します。点Pと点Qは同時に動き始めます。このとき、次の問いに答えなさい。

（1） 点Qが1周するのにかかる時間は何秒ですか。
（2） BGの長さは何cmですか。
（3） 点Qが1周するまでの間で、3点A、P、Qをそれぞれ結んだとき三角形ができないのは、動き始めて［①］秒後から［②］秒後までの間と、動き始めて［③］秒後です。
［①］～［③］にあてはまる数は何ですか。
（4） 動き始めて8秒後の三角形APQの面積は何cm²ですか。途中の考え方や式も書きなさい。

 

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（1）
直角三角形ABEの周囲の長さは（6＋12）×２＝36cmなので、36÷3＝12秒。

（答え）　12秒

 

（2）
三角形AGEと三角形CGBは相似なのでAE：CB＝9：6＝GE：GB＝3：2となる。また、BE＝36－（3＋6＋12）＝15cmより、BG＝15×$ \displaystyle \frac{2}{5} $＝6cmとなる。

（答え）　6cm

 

（3）
【３秒後】
点QはEから9cm進んだところ（A）で、
点PはAから６cm進んだところ、よって、３点は一直線となる。
【6秒後】
点PはAから12cm進んだところ（B）で、
点QはEから18cm進んだところ、よって、３点は一直線となる。
３秒後から6秒後まで一直線となり三角形が出来ない。

【9秒後】
点PはAから18cm進んだところ（C）で、
点QはEから27cm進んだところ（G）、
よって、3点は一直線となり三角形が出来ない。

（答え）　① 3　② 6　③ 9

 

（4）
【8秒後】
9秒後より1秒手前なので、
点PはCから2cm戻ったところ。
点QはGから3cm戻ったところ。
図の様に、Qから垂直に伸ばした赤線の長さは、3：15＝赤線の長さ：9より1.8cm。
Qから水平に伸ばした青線の長さは、1.8：6＝青線の長さ：8（CF）より2.4cm。
求める面積＝ABP－ABQ－BPQより、
（12×4÷２）－（12×1.8÷２）－（4×2.4÷２）＝8.4cm²

（答え）　8.4cm²