容器の水-3-2（愛光中学2015/3種類の容器の水を何度も入れ替える作業の多い問題）

問題

解答

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円柱の形をした3つの容器A，B，Cがあり，AとBとCの底面積の比は6：10：15です。

（1） A，B，Cにそれぞれ水が入っています。Aに入っている水の量の1/5をBに移し，その後，Bに入っている水の量の1/6をCに移すと，A，B，Cに入っている水の高さは同じになりました。A，B，Cにはじめに入っていた水の量の比を，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（2） （1）の水を捨て，新たにA，B，Cにそれぞれ水を入れなおしました。その後， Cに入っている水の量の2/7をAへ，残りの水の量の1/5をBへ移しました。次に，Aに入っている水の量の1/4をBへ移し，さらにBに入っている水の量の1/6をCへ移すと，A，B，Cに入っている水の量は等しくなりました。A，B，Cに水を入れなおしたときの水の高さの比を，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。

 

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（1）
2回移し終えた後の水の高さが同じになるので、水の量の比は底面積比と同じA：B：C＝6：10：15となる。

容器Aの水量を$ \fbox{30} $（5と6の最小公倍数）、
容器Bの水量を㋐、
容器Cの水量を㋑、
とする。容器Aの水量の$ \displaystyle \frac{1}{5} $にあたる$ \fbox{6} $を容器Bに移す。

容器Aの水量は$ \fbox{24} $、
容器Bの水量は㋐＋$ \fbox{6} $、
容器Cの水量は㋑、
になった。容器Bの$ \displaystyle \frac{1}{6} $にあたる㋐×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{1} $を容器Cに移す。

容器Aの水量は$ \fbox{24} $、
容器Bの水量は㋐×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{5} $、
容器Cの水量は㋐×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{1} $＋㋑、
になり、3つの容器とも高さが同じになった。

容器Aの水量を$ \fbox{24} $＝⑥、
容器Bの水量を㋐×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{5} $＝⑩、
容器Cの水量を㋐×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{1} $＋㋑＝⑮、
として、
容器Aの式より①＝$ \fbox{4} $、
容器Bは㋐×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{5} $＝$ \fbox{40} $、㋐×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＝$ \fbox{35} $、㋐＝$ \fbox{42} $
容器Cは$ \fbox{42} $×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{1} $＋㋑＝$ \fbox{60} $ 、$ \fbox{8} $＋㋑＝$ \fbox{60} $ 、㋑＝$ \fbox{52} $

はじめに入っていた水の量の比は、$ \fbox{30} $：$ \fbox{42} $：$ \fbox{52} $＝15：21：26となる。

（答え）　15：21：26

 

（2）
容器Aの水量を㋒、
容器Bの水量を㋓、
容器Cの水量を$ \fbox{420} $（7,5,4,6の最小公倍数）、
とする。容器Cの水量の$ \displaystyle \frac{2}{7} $にあたる$ \fbox{120} $を容器Aに移す。

容器Aの水量は㋒＋$ \fbox{120} $、
容器Bの水量は㋓、
容器Cの水量は$ \fbox{300} $、
になった。容器Cの残りの水量の$ \displaystyle \frac{1}{5} $にあたる60を容器Bに移す。

容器Aの水量は㋒＋$ \fbox{120} $、
容器Bの水量は㋓＋$ \fbox{60} $、
容器Cの水量は$ \fbox{240} $、
になった。容器Aの水量の$ \displaystyle \frac{1}{4} $にあたる（㋒×$ \displaystyle \frac{1}{4} $＋$ \fbox{30} $）を容器Bに移す。

容器Aの水量は㋒×$ \displaystyle \frac{3}{4} $＋$ \fbox{90} $、
容器Bの水量は㋒×$ \displaystyle \frac{1}{4} $＋㋓＋$ \fbox{90} $、
容器Cの水量は$ \fbox{240} $、
になった。容器Bの水量の$ \displaystyle \frac{1}{6} $にあたる（㋒×$ \displaystyle \frac{1}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{15} $）を容器Cに移す。

容器Aの水量は㋒×$ \displaystyle \frac{3}{4} $＋$ \fbox{90} $、
容器Bの水量は㋒×$ \displaystyle \frac{5}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{75} $ 、
容器Cの水量は ㋒×$ \displaystyle \frac{1}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{255} $ 、
になり、3つの容器とも水の量が同じになった。

容器Aの水量を㋒×$ \displaystyle \frac{18}{24} $＋$ \fbox{90} $＝①・・・（式1）
容器Bの水量を㋒×$ \displaystyle \frac{5}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{75} $＝①・・・（式2）
容器Cの水量を ㋒×$ \displaystyle \frac{1}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{255} $＝①・・・（式3）
として、
㋒×$ \displaystyle \frac{5}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{1275} $＝⑤・・・（式3）×5
㋒×$ \displaystyle \frac{5}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{5}{6} $＋$ \fbox{75} $＝①・・・（式2）
差は1200 ＝④、①＝$ \fbox{300} $

（式1）から
㋒×$ \displaystyle \frac{18}{24} $＋$ \fbox{90} $＝$ \fbox{300} $、計算すると㋒＝$ \fbox{280} $

（式3）から
$ \fbox{280} $×$ \displaystyle \frac{1}{24} $＋㋓×$ \displaystyle \frac{1}{6} $＋$ \fbox{255} $＝$ \fbox{300} $、計算すると㋓＝$ \fbox{200} $

水を入れなおしたときの水の量の比は、
A：B：C＝㋒：㋓：$ \fbox{420} $=$ \fbox{280} $：$ \fbox{200} $：$ \fbox{420} $=14：10：21
水を入れなおしたときの水の高さの比は、
A：B：C＝$ \displaystyle \frac{14}{6} $：$ \displaystyle \frac{10}{10} $：$ \displaystyle \frac{21}{15} $＝35：15：21

（答え）　35：15：21