容器の水-1-1（大妻中学2021/仕切り板の高さが4つとも違う円柱）

問題

解答

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図1のように，円柱の容器の中に4つの仕切りが底面と垂直に立てられています。図2は円柱を上から見たものです。㋐の真上から水を一定の割合で入れ始めました。水が仕切りA，B，Cを超えたのは水を入れ始めてそれぞれ3分後，8分後，17分後でした。また，28分後に円柱は水でいっぱいになりました。仕切りA，B，C，Dの高さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

 

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円柱の底面積を㋐，㋑，㋒，㋓とすると、それぞれの底面積は同じ大きさ。
底面積㋐部分が仕切りAまで水がたまるまでに3分・・・❶
底面積㋐＋㋑部分が仕切りAまで水がたまるまでに6分（❶の倍の時間）・・・❷
底面積㋐＋㋑部分が仕切りBまで水がたまるまでに8分・・・❸
❷と❸から仕切りの高さの比はA：B＝6：8＝3：4

底面積㋐＋㋑＋㋒部分が仕切りBまで水がたまるまでに12分（＝8＋4）（❸の体積の半分は4分間でたまる）・・・❹
底面積㋐＋㋑＋㋒部分が仕切りCまで水がたまるまでに17分・・・❺
❹と❺から仕切りの高さの比はB：C＝12：17

底面積㋐＋㋑＋㋒＋㋓部分が仕切りCまで水がたまるまでに$ \displaystyle \frac{68}{3} $分（＝17＋$ \displaystyle \frac{17}{3} $）（❺の体積の$ \displaystyle \frac{1}{3} $は$ \displaystyle \frac{17}{3} $分でたまる）・・・❻
底面積㋐＋㋑＋㋒＋㋓部分が仕切りDまで水がたまるまでに28分・・・❼
❻と❼から仕切りの高さの比はC：D＝$ \displaystyle \frac{68}{3} $：28＝17：21

A：B＝3：4＝9：12
B：C＝12：17
C：D＝17：21

A：B：C：D＝9：12：17：21

（答え）　A：B：C：D＝9：12：17：21