約数-3-1（吉祥女子中学2022/分母に変数があるので数の比較がしづらい）

問題

解答

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3個の整数A,B,Cは、次の3つの条件【あ】～【う】をすべて満たしているものとします。

条件【あ】　BはAより大きい
条件【い】　BはAの倍数である
条件【う】　$ \displaystyle \frac{1}{A} $＋$ \displaystyle \frac{1}{B} $＝$ \displaystyle \frac{1}{C} $が 成り立つ

次の問いに答えなさい。

（1） 次のア～工のうち、正しいものを1つ選び、記号で答えなさい。
ア　$ \displaystyle \frac{1}{C} $は$ \displaystyle \frac{1}{A} $より小さいので、CはAより小さい
イ　$ \displaystyle \frac{1}{C} $は$ \displaystyle \frac{1}{A} $より小さいので、CはAより大きい
ウ　$ \displaystyle \frac{1}{C} $は$ \displaystyle \frac{1}{A} $より大きいので、CはAより小さい
エ　$ \displaystyle \frac{1}{C} $は$ \displaystyle \frac{1}{A} $より大きいので、CはAより大きい

（2） 整数Aが3のとき、条件【あ】～【う】を満たす整数B,Cは、1組だけあります。このときのBは、Aの何倍ですか。

（3） 整数Aが4のとき、条件【あ】～【う】を満たす整数B,Cは、1組だけあります。このときのBは、Aの何倍ですか。

（4） 整数Aが6のとき、条件【あ】～【う】を満たす整数B,Cは、全部で2組あります。このときのBは、それぞれAの何倍ですか。

（5） 整数Aが12のとき、条件【あ】～【う】を満たす整数B,Cは、全部で4組あります。このときのBは、それぞれAの何倍ですか。

（6） 整数Aが72のとき、条件【あ】～【う】を満たす整数B,Cは、全部で何組ありますか。

 

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（1）
条件【う】の式の形は、数1＋数2＝数3となっているので数1は数3より小さく、同様に、$ \displaystyle \frac{1}{A} $は$ \displaystyle \frac{1}{C} $より小さい。　⇒　候補はウとエ

$ \displaystyle \frac{1}{A} $＜$ \displaystyle \frac{1}{C} $ならばC＜A　これは具体的な数字を当てはめてみるとわかる。　⇒　ウ（答）

（答え）　ウ

 

（2）
条件【う】の分数式を分かり易くするためにA,B,Cの公倍数A×B×Cを両辺にかける。

$ \displaystyle \frac{\cancel{A}×B×C}{\cancel{A}} $＋$ \displaystyle \frac{A×\cancel{B}×C}{\cancel{B}} $＝$ \displaystyle \frac{A×B×\cancel{C}}{\cancel{C}} $

B×C＋A×C＝A×B
（A＋B）×C＝A×B・・・①

①にA＝３、B＝３×□（□は2以上の整数）を入れると、
（3＋3×□）×C＝3×3×□
（１＋□）×3×C=3×3×□
（１＋□）×C=3×□
条件からC<A（3）<B ⇒ Cは1か2
「＝」の左右を比較すると、1＋□＝3、□は2が当てはまる。⇒２倍。

（答え）　２倍

 

（3）
①にA＝4、B＝4×□（□は2以上の整数）を入れると、
（4＋4×□）×C＝4×4×□
（１＋□）×4×C=4×4×□
（１＋□）×C=4×□=2×（2×□）　←　□は２以上なので
条件からC<A（4）<B ⇒ Cは1か2か3
「＝」の左右を比較すると、1＋□＝4、□は3が当てはまる。⇒3倍。

（答え）　3倍

 

（4）
①にA＝6、B＝6×□（□は2以上の整数）を入れると、
（１＋□）×C=6×□=3×（2×□）=2×（3×□）　←　□は２以上なので
条件からC<A（6）<B ⇒ Cは1～5のどれか
「＝」の左右を比較すると、
1＋□＝6、
1＋□＝3、
□は5と2が当てはまる。⇒2倍、5倍。

（答え）　2倍、5倍

 

（5）
①にA＝12、B＝12×□（□は2以上の整数）を入れると、
（１＋□）×C=12×□=6×（2×□）=4×（3×□）=3×（4×□）=2×（6×□）　←　□は２以上なので
条件からC<A（12）<B ⇒ Cは1～11のどれか
「＝」の左右を比較すると、
1＋□＝12、
1＋□＝6、
1＋□＝4、
1＋□＝3、
□は11，5，3，2が当てはまる。⇒2倍、3倍、5倍、11倍、

（答え）　2倍、3倍、5倍、11倍

 

（6）

①にA＝72、B＝72×□（□は2以上の整数）を入れると、
（１＋□）×C=72×□=36×（2×□）=24×（3×□）=18×（4×□）=12×（6×□）=9×（8×□）=8×（9×□）=6×（12×□）=4×（18×□）=3×（24×□）=2×（36×□）　←　□は２以上なので
条件からC<A（72）<B ⇒ Cは1～71のどれか
「＝」の左右を比較すると、
1＋□＝72、
1＋□＝36、
1＋□＝24、
1＋□＝18、
1＋□＝12、
1＋□＝9、
1＋□＝8、
1＋□＝6、
1＋□＝4、
1＋□＝3、
□は71，35，23，17，11，8，7，5，3，2が当てはまる。⇒10組

（答え）　10組

 

 補足

実際の試験の場では、条件【う】　$ \displaystyle \frac{1}{A} $＋$ \displaystyle \frac{1}{B} $＝$ \displaystyle \frac{1}{C} $のAとBに数字を入れていって等式が成り立つか、1つ1つ確かめてゆく方法に頼る人が多いと思いますがそれで十分。（3）まで完答できれば後は時間と相談して飛ばすのもアリ。満点争奪戦ではないので。