約束記号-3-1（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/前半の問題で導入が用意されているが、場合分けの手法に慣れていないと厳しい）

問題

解答

 解答を開く

 

[N]は整数Nを4で割った余りを表します。たとえば[10]＝2，[11]＝3，[12]＝0となります。また，AとBはどちらも2桁の整数とします。

（1） [A]＝0となるAは［　ア　］個，[A]＝1となるAは［　イ　］個，[A]＝2となるA は［　ウ　］個，[A]＝3となるAは［　エ　］個あります。空欄（ア～エ）にあてはまる数を答えなさい。

ここからの問題では，AとBは異なる整数とし，たとえばA＝10，B＝12である組とA＝12，B＝10である組は異なる組とします。

（2） [A]＋[B]＝2となるAとBの組は何組ありますか。
（3） [ [A]＋[B] ]＝2となるA とBの組は何組ありますか。
（4） [ [A]＋[B] ]＝[A]＋[B]となるAとBの組は何組ありますか。《解答欄の考え方を記す欄に考え方も書きなさい》

 

---

 

（1）
[A]＝0となるAは４の倍数なので、99÷4＝24あまり3となり、24個のうち4と8を除く。
12，16，20，・・・，96
以上の22個・・・［ア］

[A]＝1となるAは、[A]＝0で求めた数に1を加える
13，17，21，・・・，97
以上の22個・・・［イ］

[A]＝2についても同様に求める。
1４，18，22，・・・，98、これに10を付け加える
以上の23個・・・［ウ］

[A]＝3についても同様に求める。
15，19，23，・・・，99、これに11を付け加える
以上の23個・・・［エ］

（答え）　アは22　イは22　ウは23　エは23

 

（2）
[A]＝2かつ[B]＝0の場合、[A]＝1かつ[B]＝1の場合、[A]＝0かつ[B]＝2の場合、この３つのパターンがある。

【[A]＝2かつ[B]＝0の場合】
[A]＝2は23個、[B]＝0は22個、これより23×22＝506組

【[A]＝1かつ[B]＝1の場合】
[A]＝1は22個、[B]＝1は22個、これより22×22＝484組
「AとBは異なる整数」より、同時に13，17，21，・・・，97となる22組を除き462組

【[A]＝0かつ[B]＝2の場合】
[A]＝0は22個、[B]＝2は23個、これより22×23＝506組

合わせて、506＋462＋506＝1474組

（答え）　1474組

 

（3）
[N]＝2となる整数Nは、2，6，10，14，・・・となる。
一方、[A]＋[B]の取り得る値は問（1）より0～6の7種類。
よって、[A]＋[B]＝2または[A]＋[B]＝6であればよい。

【[A]＋[B]＝2の場合】
問（2）より1474組

【[A]＋[B]＝6の場合】
[A]＝3かつ[B]＝3のときで、[A]＝3も[B]＝3も23個なので23×23＝529組
「AとBは異なる整数」より、同時に11，15，19，・・・，99となる23組を除き506組

合わせて、1474＋506＝1980組

（答え）　1980組

 

（4）
[ [A]＋[B] ]＝0となる[A]＋[B]は0と4のとき　⇒　[A]＋[B]＝0となるAとBの組を数える
[ [A]＋[B] ]＝1となる[A]＋[B]は1と5のとき　⇒　[A]＋[B]＝1となるAとBの組を数える
[ [A]＋[B] ]＝2となる[A]＋[B]は2と6のとき　⇒　[A]＋[B]＝2となるAとBの組を数える
[ [A]＋[B] ]＝3となる[A]＋[B]は3のとき　⇒　[A]＋[B]＝3となるAとBの組を数える

【[A]＋[B]＝0となるAとBの組】
[A]＝0かつ[B]＝0の場合で、22×22－22（AとBは異なる整数）＝462組

【[A]＋[B]＝1となるAとBの組】
[A]＝0かつ[B]＝1の場合が22×22＝484組
[A]＝1かつ[B]＝0の場合が22×22＝484組
合わせて、484＋484＝968組

【[A]＋[B]＝2となるAとBの組】
問（2）より、1474組

【[A]＋[B]＝3となるAとBの組】
[A]＝0かつ[B]＝3の場合が22×23＝506組
[A]＝1かつ[B]＝2の場合が22×23＝506組
[A]＝2かつ[B]＝1の場合が23×22＝506組
[A]＝3かつ[B]＝0の場合が23×22＝506組
合わせて、506×4＝2024組

以上、合計すると462＋968＋1474＋2024=4928

（答え）　4928組