体積比と相似-3-1（開成中学2022/相似比から体積比と表面積比を求める計算が多い問題）

問題

解答

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図1 のように，底面の半径が4cmでOAの長さが8cmの，粘土（ねんど）でできた円すいがあります。この円すいを，底面に平行で等間隔（とうかんかく）な3つの平面で4つのブロックに切り分け，いちばん小さいブロックから大きい方へ順にa,b, c, dと呼ぶことにします。このとき，次の問いに答えなさい。

（1） ブロックbとdの体積の比，および，表面積の比を求めなさい。
（2） ブロックa,cを図2のように積み上げて立体を作りXと呼ぶことにします。同じように，ブロックb,dを積み上げて立体を作りYと呼ぶことにします。立体XとYの体積の比，および，表面積の比を求めなさい。

 

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各ブロックの底面の半径は三角形の相似より求まる。
底面半径4cmのときに高さを❹とすれば、
❸のとき３cm、
❷のとき2cm、
❶のとき1cmとなる。

（円周率も高さも与えられていないが求めるものは比であり、相似な立体として考えていけばよい。）

円すいaの底面積＝1×1×円周率・・・（①）とする
円すいaの側面積＝$ \displaystyle \frac{1}{2} $×２×2×円周率・・・底面積の倍なので（①×２）とする
円すいaの体積＝1×1×円周率×❶・・・（$ \fbox{1} $）とする

円すい（a＋b）の底面積は（①）×２×２=①×4
円すい（a＋b）の側面積は（①×２）×２×２=①×8
円すい（a＋b）の体積は（$ \fbox{1} $）×２×２×２=$ \fbox{1} $×8

円すい（a＋b＋c）の底面積は（①）×3×3=①×9
円すい（a＋b＋c）の側面積は（①×２）×3×3=①×18
円すい（a＋b＋c）の体積は（$ \fbox{1} $）×3×3×3=$ \fbox{1} $×２7

円すい（a＋b＋c＋d）の底面積は（①）×4×4=①×16
円すい（a＋b＋c＋d）の側面積は（①×２）×4×4=①×32
円すい（a＋b＋c＋d）の体積は（$ \fbox{1} $）×4×4×4=$ \fbox{1} $×64

（1）

ブロックbの体積=$ \fbox{1} $×8－$ \fbox{1} $＝$ \fbox{1} $×7
ブロックdの体積=$ \fbox{1} $×64－$ \fbox{1} $×２7＝$ \fbox{1} $×37
ブロックbの体積：ブロックdの体積＝（$ \fbox{1} $×7）：（$ \fbox{1} $×37）＝7：37

ブロックbの表面積＝①＋①×4＋（①×8－①×２）＝①×11
ブロックdの表面積＝①×9＋①×16＋（①×32－①×18）＝①×39
ブロックbの表面積：ブロックdの表面積＝（①×11）：（①×39）＝11：39

（答え）　体積の比は7：37、　表面積の比は11：39

 

（2）

立体X（aとc）の体積＝（$ \fbox{1} $）＋（$ \fbox{1} $×２7－$ \fbox{1} $×8）＝$ \fbox{1} $×20
立体Y（bとd）の体積＝円すい（a＋b＋c＋d）の体積－立体X（aとc）の体積＝$ \fbox{1} $×64－$ \fbox{1} $×20＝$ \fbox{1} $×44
立体X（aとc）の体積：立体Y（bとd）の体積＝$ \fbox{1} $×20：$ \fbox{1} $×44＝5：11

立体X（aとc）の表面積＝①×２＋（①×4－①）＋（①×18－①×8）＋①×9＝①×24
立体Y（bとd）の表面積＝①＋（①×8－①×２）＋（①×9－①×4）＋（①×32－①×18）＋①×16＝①×42
立体X（aとc）の表面積：立体Y（bとd）の表面積＝①×24：①×42＝24：42=4：7

（答え）　体積の比は5：11、　表面積の比は4：7