場合の数
あることがら（～の場合）について、その起こり方が何通りあるかを数えたもの。「順列」,「組み合わせ」,「樹形図」などを組み合わせて使う。
場合の数-2-12（聖光学院中学2022/1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります）
問題 問題（聖光学院中学2022/1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります 1～5までの整数が書かれた赤，白，青の3色の玉が1個ずつ，合計15個あります。 このとき，次の問いに答えなさい。 （1）15個の玉の中から5個の玉を選んで一列に並べる並べ方のうち，左から順に赤，赤，白，白，白と並ぶような玉の並べ方は全部で何通りありますか。 （2）15個の玉の中から3個 […]
場合の数-2-11（聖光学院中学2022/序盤の解答を終盤で利用する、最後は少しだけ面倒）
問題 問題（聖光学院中学2022/序盤の解答を終盤で利用する、最後は少しだけ面倒） 各位の数の和が各位の数の積以上である3桁の整数A を考えます。たとえば，925の各位の数の和は9＋2＋5＝16，各位の数の積は9×2×5＝90となり，925は整数Aとしてふさわしくありません。 このとき，次の問いに答えなさい。 （1）百の位の数が9である整数Aは全部で何個ありますか。 （2）3つの位の数の中に0を […]
場合の数-2-10（成蹊中学2022/それぞれの場合を丁寧に数え上げよう）
問題 問題（成蹊中学2022/それぞれの場合を丁寧に数え上げよう） （原文ママとするため図6～8とする） 図6のような，縦4マス，横4マスのマス目があります。このマス目の中を，次の規則にしたがって，整数を書きこみながら移動します。 規則 ・左下のAのマスに整数を書きこみます。 ・左下のAのマスから移動を開始し，右上のBのマスまで移動します。 ・右または上に1マスずつ移動します。 ・右に移動すると […]
樹形図-2-4（巣鴨中学2022/場合分け＋素因数分解＋樹形図）
問題 問題（巣鴨中学2022/場合分け＋素因数分解＋樹形図） 4つの商品A，B，C，Dがあります。これらの商品の値段はそれぞれ、60円，120円，240円，350円です。商品A，B，C，Dをいくつか買ったところ、代金の合計は1300円になりました。商品の個数の組み合わせは何通りありますか。ただし、買わない商品があってもよいものとします。 解答 解答を開く 4つの商品A，B，C，D […]
場合の数-2-9（城北中学2022/前問の結果を利用する手もある）
問題 問題（城北中学2022/前問の結果を利用する手もある） A君とB君が何回かじゃんけんをして，間にあいこをはさんでもよいので2回続けて勝った方を優勝とします。例えば，1回目にA君が勝ち，2回目があいこ，3回目もあいこで，4回目にA君が勝てば，その時点でA君の優勝が決まります。このとき，次の問いに答えなさい。 ただし，どの手を出して勝ったかは区別しないものとします。例えば，2回目のじゃんけんで […]
場合の数-3-4（渋谷教育学園幕張中学2022/白黒の答案用紙で色を考える嫌な問題、これだけで試験時間が無くなりそう…）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2022/白黒の答案用紙で色を考える嫌な問題、これだけで試験時間が無くなりそう…） 赤，青，黄，緑の4色を点灯することができるライトを4つ，左から一列に並べます。この4つのライトは，スイッチを押すたびにある規則にしたがって色が切り替わります。例えば，右の固のように 赤を青，青を青，黄を緑，緑を赤 に切り替わるような規則を定めると，スイッチを押すたびに，この規則にし […]
場合の数-2-8（四天王寺中学2022/場合分けの練習、できる様になれば数え漏れなく答えが出せます）
問題 問題（四天王寺中学2022/場合分けの練習、できる様になれば数え漏れなく答えが出せます） 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回続けて出たら投げるのをやめます。このとき，出た目の合計を得点とします。 （1） 得点が6点となる目の出方は何通りありますか。 （2） 得点が8点となる目の出方は何通りありますか。 解答 解答を開く 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回 […]
場合の数-2-7（駒場東邦中学2022/3進法のコインで買い物をする）
問題 問題（駒場東邦中学2022/3進法のコインで買い物をする） 0以上9以下の整数が書かれたコインが1枚ずつあり， ⓪＝1円相当，①＝3円相当，②＝9円相当，③＝27円相当，・・・のように， 書かれた数字が1ふえるごとに相当金額が3倍になる，仕組みになっています。この各コインを1枚ずつ持って買い物をするとき，次の問いに答えなさい。ただし，おつりにおいても同じ種類のコインは1枚ずつしかなく，やり […]
場合の数-2-6（久留米大学附設中学2022/小数点の計算が面倒）
問題 問題（久留米大学附設中学2022/小数点の計算が面倒） 〇と書かれたカードと×と書かれたカードが1枚ずつ箱に入っています。この箱からカードを1枚取り出し、〇か×かを記録してカードを箱の中にもどすという操作をくり返します。ここで、すべての操作の回数に対する〇のカードを取り出した回数の割合を「成功率」と呼ぶことにします。 「成功率」は小数第3位までの小数で表すこととし、それ以前の位までで割り切 […]
場合の数-2-5（関西学院中学部2022/面倒な問題がさり気なく配置されていたので）
問題 問題（関西学院中学部2022/面倒な問題がさり気なく配置されていたので） 赤，青，緑の3個のサイコロを投げます。例えば赤のサイコロの目が4，青の目が4，緑の目が2のように，3つの出た目のうち最も大きい目が4になる目の出方は何通りあるか求めなさい。 解答 解答を開く 赤，青，緑の3個のサイコロを投げます。例えば赤のサイコロの目が4，青の目が4，緑の目が2のように，3つの出た目 […]
場合の数-3-3（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています）
問題 問題（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています） 白と黒の2色の正方形のタイルがたくさんあります。これらを並べて大きな正方形を作るとき、並べ方が何通りあるかを考えます。ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じ並べ方として考えます。 例えば、2×2の正方形を作るとき図1から図3の3つの並べ方はすべて同じものであると考えます。よって、白のタイル2枚、黒のタイル […]
場合の数-3-2（開成中学2022/（3）-（ウ）を捨てるか、腹をくくって解き続けるか、あなたならどっち？）
問題 問題（開成中学2022/（3）-（ウ）を捨てるか、腹をくくって解き続けるか、あなたならどっち？） 開成君は，図1 のような縦2 マス，横7 マスのマス目を用意し，マス目のいくつかを黒くぬりつぶして「暗号」を作ろうと考えました。そこで，次のようなルールを決め，何種類の暗号を作ることができるかを調べることにしました。 ● 黒くぬりつぶすマス目は，上下左右が隣（とな）り合わないようにする。 ● […]
場合の数-2-4（開成中学2022/反対の場合を考えると分かり易いときもある）
問題 問題（開成中学2022/反対の場合を考えると分かり易いときもある） 4人の人がサイコロを1回ずつふるとき，目の出方は全部で6×6×6×6＝1296通りあります。この中で，4つの出た目の数をすべてかけると4の倍数になる目の出方は何通りありますか。 解答 解答を開く 4人の人がサイコロを1回ずつふるとき，目の出方は全部で6×6×6×6＝1296通りあります。この中で，4つの出た […]
場合の数-2-3（海城中学2022/この手の問題を苦手とする子は多い）
問題 問題（海城中学2022/この手の問題を苦手とする子は多い） 777枚のコインは片方の面が白色，もう片方の面が黒色であり，1～777の番号がついています。はじめ，コインは全て白色の面が上になっています。また，袋（ふくろ）の中に1～5の数字が書かれたカードが1枚ずつ計5枚あり，次の【操作】をくり返し行います。 【操作】 カードを1枚引き，引いたカードの数字の倍数の番号のコインを裏返す。 その後 […]
場合の数-1-2（大妻中野中学2021/フローチャートとサイコロの目）
問題 問題（大妻中野中学2021/フローチャートとサイコロの目） さいころをふって得点していくゲームを考えます。下の図は、【入口】から【出口】まで矢印の方向に進みます。このとき、次の問いに答えなさい。 （1） 【出口】で持ち点が3点になるような、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 （2） 【出口】での持ち点は全部で何通りありますか。 （3） 【A】を「さいころを3回ふりましたか」に変更 […]
場合の数-3-1（市川中学2022/与えられた条件から9つの異なる数を見つけ出す）
問題 問題（市川中学2022/与えられた条件から9つの異なる数を見つけ出す） 下の会話文中の【ア】から【ク】にあてはまる数を答えなさい。ただし，答えが複数ある場合はすべて答えなさい。 X：「下の筆算が成り立つように，各アルファベットに0から9までの数を1つずつ入れることを考えよう。」 Y：「それなら簡単だよ。AとDとGが6で，BとEとHが7で，CとFとIが4ならば，674＋674＋674＝202 […]
数の並び方-2-2（麻布中学2022/場合分けして条件に当てはまる数を見つけ出す）
問題 問題（麻布中学2022/場合分けして条件に当てはまる数を見つけ出す） 次の条件に当てはまる4桁（けた）の整数を考えます。 条件： 1つの数字を3個，別の数字を1個並べて作られる。 例えば， 2022はこの条件に当てはまっています。以下の問いに答えなさい。 （1） 条件に当てはまる4桁の整数のうち，どの桁の数字も0でないものはいくつあリますか。 （2） 条件に当てはまる4桁の整数は全部でいく […]
場合の数-2-2（浅野中学2022/どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通り？）
問題 問題（浅野中学2022/どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通り？） 縦4個、横4個の合計16個のマス目のそれぞれに、1、2、3、4いずれかの数字を入れていきます。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列といいます。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方が何通りあるかについて考えます。 ［図1］はこの入れ方に従って数字を入れた一例です。 まず、［図 […]
場合の数-2-1（吉祥女子中学2018/場合分けして地道に数える方法）
問題 問題（吉祥女子中学2018/場合分けして地道に数える方法） 1から5までの数字が表（おもて）に書かれたカードが3枚ずつ、合計15枚あります。これらのカードを裏にしておき、1枚ずつ順に表にしていくゲームをします。同じ数字が書かれたカードが3枚とも表になったらこのゲームは終了（しゅうりょう）とし、その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。たとえば、表にしたカードの数字が順に 4 […]
場合の数-1-1（浅野中学2016/それぞれの場合に分けて考えれば分かり易い）
問題 問題（浅野中学2016/それぞれの場合に分けて考えれば分かり易い） ［図1］のような三角すいABCDがあります。点Pが頂点Aから出発して、辺上を通って頂点Aに戻ってくる方法は全部で何通りありますか。ただし、同じ辺は2度通らないものとし、また、頂点をすべて通らなくてもよいものとします。 解答 解答を開く ［図1］のような三角すいABCDがあります。点Pが頂点Aから出発して、辺 […]