問題
1周300mの池の周りを，A君とB君は同じ地点Xから同時にスタートし，左回り（反時計回り）に走ります。A君は分速200m，B君は分速250mで走りますが，自分の前10m以内に相手がいるときは速さが1.2倍になります。
例えば，スタート直後は，A君の前10m以内にB君がいるので，A君は分速240mで走ることになります。一方，B君は分速250mで走ることになります。また，B君が1周分の差をつけてA君に追いつく直前では，B君の前10m以内にA君がいるので，A君は分速200m, B君は分速300mで走ることになります。
（1） A君とB君が初めて10m離（はな）れるまでに，A君が走る距離（きょり）は何mですか。
（2） B君がちょうど1周分の差をつけてA君に追いつくまでに，A君が走る距離は何mですか。
（3） A君が10周してスタート地点Xに戻（もど）ってくるまでにかかる時間は何分何秒ですか。
今度は，A君とB君にC君を加えて，3人で池の周りを左回りに走ります。3人は同時にスタートしますが，C君だけはスタートする地点が違（ちが）います。また，C君の走る速さは，B君と同じ分速250mで，3人とも自分の前10m以内に誰（だれ）かがいるときは速さが1.2倍になります。
（4） C君のスタートした地点が，他の2人のスタート地点Xから左回りに150mのところでした。
（ア） B君がちょうど1周分の差をつけてA君に追いつくまでに，A君が走る距離は何mですか。
（イ） A君が10周してスタート地点Xに戻ってくるまでの時間は，（3）で求めた時間より何秒短くなりますか。
（5） A君が10周してスタート地点Xに戻ってくるまでの時間が，（3）で求めた時間より7秒短くなりました。また，B君とC君が10m以内に近づくことはありませんでした。このとき，C君がスタートした地点は，他の2人のスタート地点Xから左回りに何mのところでしたか。
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解答
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1周300mの池の周りを，A君とB君は同じ地点Xから同時にスタートし，左回り（反時計回り）に走ります。A君は分速200m，B君は分速250mで走りますが，自分の前10m以内に相手がいるときは速さが1.2倍になります。
例えば，スタート直後は，A君の前10m以内にB君がいるので，A君は分速240mで走ることになります。一方，B君は分速250mで走ることになります。また，B君が1周分の差をつけてA君に追いつく直前では，B君の前10m以内にA君がいるので，A君は分速200m, B君は分速300mで走ることになります。（1） A君とB君が初めて10m離（はな）れるまでに，A君が走る距離（きょり）は何mですか。
（2） B君がちょうど1周分の差をつけてA君に追いつくまでに，A君が走る距離は何mですか。
（3） A君が10周してスタート地点Xに戻（もど）ってくるまでにかかる時間は何分何秒ですか。
今度は，A君とB君にC君を加えて，3人で池の周りを左回りに走ります。3人は同時にスタートしますが，C君だけはスタートする地点が違（ちが）います。また，C君の走る速さは，B君と同じ分速250mで，3人とも自分の前10m以内に誰（だれ）かがいるときは速さが1.2倍になります。
（4） C君のスタートした地点が，他の2人のスタート地点Xから左回りに150mのところでした。
（ア） B君がちょうど1周分の差をつけてA君に追いつくまでに，A君が走る距離は何mですか。
（イ） A君が10周してスタート地点Xに戻ってくるまでの時間は，（3）で求めた時間より何秒短くなりますか。（5） A君が10周してスタート地点Xに戻ってくるまでの時間が，（3）で求めた時間より7秒短くなりました。また，B君とC君が10m以内に近づくことはありませんでした。このとき，C君がスタートした地点は，他の2人のスタート地点Xから左回りに何mのところでしたか。
（1）
スタート時、AB2人の距離は10m以内なので
A：分速240m（1.2倍）
B：分速250m
1分間で10mの差がつくので、Aの走る距離は240m（答え） 240m
（2）
スタートしてから1分後（AB2人は10m離れる）から、BがAに追いつく手前10mまでのAの走る距離
A：分速200m
B：分速250m
（300－10－10）÷（250－200）＝5.6分、200×5.6＝1120mBがAに追いつく手前の10mから、追いつくまでのAの走る距離
A：分速200m
B：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20mよって、240＋1120＋20＝1380ｍ
（答え） 1380ｍ
（3）
前問よりBがAに追いつくまで、Aは1380m走り、池を1380÷300＝4.6周する。倍の2760ｍでは9.2周することになる。300×0.2＝60mより、あと240mで10周になる。この240mは（1）の状況と同じ。
よって、求める時間は（1＋5.6＋0.1）×2＋1＝14.4分、14分24秒（答え） 14分24秒
（4）-（ア）
スタート位置
① スタートしてから1分間でAは200×1.2×1＝240m進む。
このとき、BCの距離はスタート時と同じで150m
② スタートしてから1分後、AはCの140m前方にいる。そこからCがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速250m
（140－10）÷（250－200）＝2.6分、200×2.6＝520m
このとき、BCの距離はスタート時と同じで150m
③ CがAの後方10ｍから追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は145m（0.1分間だけCがBより分速50m速く走った）
④ CがAを追いこしてから10m差をつけるまでにAの走る距離
A：分速240m（1.2倍）
C：分速250m
10÷（250－240）＝1分、240×1＝240m
このとき、BCの距離は145mでABの距離は145m
⑤ BがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速250m
（145－10）÷（250－200）＝2.7分、200×2.7＝540m
このとき、BCの距離は145m
⑥ BがAの後方10mからAに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は150m
よって、Aは7.5分かけて240＋520＋20＋240＋540＋20＝1580m走る。
（答え） 1580m
（4）-（イ）
（ア）より、Aが1580m走った時は、3人の位置関係はスタート時と同じなので、（ア）の①～⑥をくり返す。
3000（10周）－1580＝1420mなので、①240＋②520＋③20＋④240＋⑤400（540mの途中）で1420mになり、かかる時間は（1＋2.6＋0.1＋1＋2）分。1周目の7.5分と合わせ14.2分（14分12秒）。
よって、（3）より12秒短くなる。（答え） 12秒短くなる
（5）
7秒短くなると14分17秒。これを（4）-（イ）の14分12秒と比較すると5秒長く（遅く）なっている。
遅くするには、2回目にAが毎分240mで走る区間（（4）-（ア）の④）の一部または全部を3000mよりも後にすればよく、そのためには、毎分200mで走る区間（（4）-（ア）の②）をできるだけ多くとる。（地点Xにできるだけ近づける。）
よって、CB間が10mより開いていて、かつ計算の簡単な数値「地点Xから左に20m」で計算し、結果が14分17秒より遅ければ「地点Xから左に30m」、速ければ「地点Xから左に15m」を計算し、つるかめ算的に求める。【地点Xから左に20m】
スタート位置
① スタートしてから1分間でAは200×1.2×1＝240m進む。
このとき、BCの距離はスタート時と同じで20m
② スタートしてから1分後、AはCの270m前方にいる。そこからCがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速250m
（270－10）÷（250－200）＝5.2分、200×5.2＝1040m
このとき、BCの距離はスタート時と同じで20m
③ CがAの後方10ｍから追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は25m（0.1分間だけCがBより分速50m速く走った）④ CがAを追いこしてから10m差をつけるまでにAの走る距離
A：分速240m（1.2倍）
C：分速250m
10÷（250－240）＝1分、240×1＝240m
このとき、BCの距離は25mでABの距離は15m
⑤ BがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速250m
（15－10）÷（250－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は25m⑥ BがAの後方10mからAに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は20m
よって、Aは7.5分かけて240＋1040＋20＋240＋20＋20＝1580m走り、その時の3人の位置関係はスタート時と同じ。
Aが残り1420m走れば3000m（10周）になるので2周目の途中で3000mになる。
1420=240（①）＋1040（②）＋20（③）＋120（④の半分で0.5分間走る）にかかる時間と7.5分で、（1＋5.2＋0.1＋0.5）分＋7.5分＝14.3分＝14分18秒。14分17秒より遅くなったので次は「地点Xから左に30m」を計算する。
【地点Xから左に30m】
スタート位置
① スタートしてから1分間でAは200×1.2×1＝240m進む。
このとき、BCの距離はスタート時と同じで30m
② スタートしてから1分後、AはCの260m前方にいる。そこからCがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速250m
（260－10）÷（250－200）＝5分、200×5＝1000m
このとき、BCの距離はスタート時と同じで30m③ CがAの後方10ｍから追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
C：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は35m（0.1分間だけCがBより分速50m速く走った）④ CがAを追いこしてから10m差をつけるまでにAの走る距離
A：分速240m（1.2倍）
C：分速250m
10÷（250－240）＝1分、240×1＝240m
このとき、BCの距離は35mでABの距離は25m⑤ BがAの後方10mに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速250m
（25－10）÷（250－200）＝0.3分、200×0.3＝60m
このとき、BCの距離は35m⑥ BがAの後方10mからAに追いつくまでにAの走る距離
A：分速200m
B：分速300m（1.2倍）
10÷（300－200）＝0.1分、200×0.1＝20m
このとき、BCの距離は30mよって、Aは7.5分かけて240＋1000＋20＋240＋60＋20＝1580m走り、その時の3人の位置関係はスタート時と同じ。
Aが残り1420m走れば3000m（10周）になるので2周目の途中で3000mになる。
1420=240（①）＋1000（②）＋20（③）＋160（④の$ \displaystyle \frac{2}{3} $で40秒間走る）にかかる時間と7.5分で、（1＋5＋0.1）分＋40秒＋7.5分＝13.6分＋40秒＝14分16秒。「地点Xから左に20m」では14分18秒で、「地点Xから左に30m」では14分16秒となり、この間の速さは一定なので中間の「地点Xから左に25m」が14分17秒になる。
（答え） 地点Xから左に25mのところ
