数列-1-6（開智日本橋学園2021/群数列の扱い）

問題

解答

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分数を次のように並べます。

（1） $ \displaystyle \frac{1}{13} $がはじめて現れるのは左はしから数えて何番目ですか。
（2） 左はしから数えて200番目の分数は何ですか。
（3） 1番目から200番目までの分数をすべて足したらいくつですか。

 

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同じ分母を一団とする群数列として扱うと分かり易くなる。

（1）
第1群（分母１）・・・1コ
第2群（分母3）・・・3コ
第3群（分母5）・・・5コ
第4群（分母7）・・・7コ
第5群（分母9）・・・9コ
第6群（分母11）・・・11コ
第7群（分母13）・・・13コ
これより、1＋3＋5＋7＋9＋11＋1＝37

（答え）　37番目

 

（2）
1，3，5，…，nの和がはじめて200を超えるn（第n群）を求める。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27=196
第14群までの分数の数が196コとなるので、第15群（$ \displaystyle \frac{1}{29} $　$ \displaystyle \frac{2}{29} $　$ \displaystyle \frac{3}{29} $　$ \displaystyle \frac{4}{29} $　…）の４コ目の分数が200番目の分数で、その数は$ \displaystyle \frac{4}{29} $。

（答え）　$ \displaystyle \frac{4}{29} $

 

（3）
（2）の結果を利用する。
第1群の和・・・1
第2群の和・・・2
第3群の和・・・3
第4群の和・・・4
…
第14群の和・・・14
第15群の和・・・$ \displaystyle \frac{1}{29} $＋$ \displaystyle \frac{2}{29} $＋$ \displaystyle \frac{3}{29} $＋$ \displaystyle \frac{4}{29} $＝$ \displaystyle \frac{10}{29} $

1番目から200番目までの分数をすべて足すと、
1＋2＋3＋…＋14＋$ \displaystyle \frac{10}{29} $＝105$ \displaystyle \frac{10}{29} $

（答え）　105$ \displaystyle \frac{10}{29} $