数列-1-4（大妻多摩中学2022/郡数列：数列をグループごとにまとめる）

問題

解答

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次のように，ある規則にしたがって数が並んでいます。

$ \displaystyle \frac{1}{1} $，$ \displaystyle \frac{1}{2} $，$ \displaystyle \frac{3}{2} $，$ \displaystyle \frac{1}{3} $，$ \displaystyle \frac{3}{3} $，$ \displaystyle \frac{5}{3} $，$ \displaystyle \frac{1}{4} $，$ \displaystyle \frac{3}{4} $，$ \displaystyle \frac{5}{4} $，$ \displaystyle \frac{7}{4} $，$ \displaystyle \frac{1}{5} $，$ \displaystyle \frac{3}{5} $，$ \displaystyle \frac{5}{5} $，…

このとき，次の問いに答えなさい。
（1） $ \displaystyle \frac{7}{11} $が出てくるのは，先頭から数えて何番目ですか。
（2） 先頭から数えて50番目までの和を求めなさい。

 

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（1）
分母が１の分数は１個、分母が2の分数は2個、分母が3の分数は3個、・・・の特徴があり、分子は奇数だけで1から順番に増えてゆく。これをグループで考える。

$ \displaystyle \frac{7}{11} $が出てくるのは11番目のグループの4番目で、先頭から数えると
1個＋2個＋3個＋…＋10個＋4（11番目のグループの4番目）＝59で、59番目。

（答え）　59番目

 

（2）
分母が1の分数は1個で、和は１
分母が2の分数は2個で、和は2
分母が3の分数は3個で、和は3
分母が4の分数は4個で、和は4
…
分母が9の分数は9個で、和は9
ここまでで45個。
残りは5個でその分数は、$ \displaystyle \frac{1}{10} $，$ \displaystyle \frac{3}{10} $，$ \displaystyle \frac{5}{10} $，$ \displaystyle \frac{7}{10} $，$ \displaystyle \frac{9}{10} $
先頭から数えて50番目までの和は、
1＋2＋3＋4＋…＋9＋$ \displaystyle \frac{1}{10} $＋$ \displaystyle \frac{3}{10} $＋$ \displaystyle \frac{5}{10} $＋$ \displaystyle \frac{7}{10} $＋$ \displaystyle \frac{9}{10} $＝45＋$ \displaystyle \frac{25}{10} $＝47.5

（答え）　47.5