数列-1-3（穎明館中学2022/数列を群（グループ）で考える）

問題

解答

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次のようにある規則にしたがって数が並んでいます。
2，1，4，3，2，1，6，5，4，3，2，1，8，7，6，5，4，3，2，1，…..

（1） 7回目の1は最初から数えて何番目ですか。
（2） 最初から数えて100番目の数を求めなさい。
（3） 最初の数から順にたしていくとき，初めて200をこえるのは何番目ですか。

 

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（1）
規則性を見つけるために見やすい並べ方にする。
2，1・・・第1群は2個（1回目の1）
4，3，2，1・・・第2群は4個（2回目の1）
6，5，4，3，2，1・・・第3群は6個（3回目の1）
8，7，6，5，4，3，2，1・・・第4群は8個（4回目の1）
・・・
14，13，・・・，1・・・第7群は14個（7回目の1）
よって、
7回目の1は最初から数えて2＋4＋6＋・・・＋14=（2＋14）×7÷2＝56番目

（答え）　56番目

 

（2）
（1）より第7群までの数は56個ある。第8群は16個、第9群は18個、ここまでの和で90個となりあと10個。
第10群を並べると、20，19，18，17，16，15，14，13，12，11・・・、この11が100番目の数となる。

（答え）　11

 

（3）
2，1・・・第1群の和は3
4，3，2，1・・・第2群の和は10（ここまでの和は13）
6，5，4，3，2，1・・・第3群の和は21（ここまでの和は34）
8，7，6，5，4，3，2，1・・・第4群の和は36（ここまでの和は70）
10，9，・・・，1・・・第5群の和は55（ここまでの和は125）
12，11，・・・，3，2，1・・・第6群の和は78（ここまでの和は203）
よって、第6群の3の時に200となり、200を超えるのは第6群の2の時。その２は何番目かを数えると、
2＋4＋6＋8＋10＋11=41番目となる。

（答え）　41番目