問題
円に直線を1本引くと，図1のように円を2つの部分に分けることができます。
このとき，分けた部分の数を「P＝2」と表します。
また，円に直線を2本引くと，図2，図3のように円を3つまたは4つの部分に分けることができます。
このとき，図2は「P＝3」，図3は「P＝4」となります。
さらに，円に直線を3本引くと，下の図のように円をいくつかの部分に分けることができます。
このように，円に直線を何本か引いて，円をいくつかの部分に分けることを考えます。
ただし，下の図のように，2本が円周上で交わったり，3本以上の直線が円の中で1点で交わるような引き方はしないことにします。
（1） 直線を4本引きます。このとき，最も小さいPを答えなさい。
（2） 直線を7本引きます。このとき，最も大きいPを答えなさい。
（3） 直線を10本引いて円をいくつかの部分に分けます。このとき，最も大きいPと最も小さいPの差を答えなさい。
（4） 直線を何本か引いて，P＝106の場合を考えます。このとき直線が最も多い場合は［ ア ］本で，最も少ない場合は［ イ ］本です。［ ア ］，［ イ ］にあてはまる数を答えなさい。
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解答
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円に直線を1本引くと，図1のように円を2つの部分に分けることができます。
このとき，分けた部分の数を「P＝2」と表します。
また，円に直線を2本引くと，図2，図3のように円を3つまたは4つの部分に分けることができます。
このとき，図2は「P＝3」，図3は「P＝4」となります。
さらに，円に直線を3本引くと，下の図のように円をいくつかの部分に分けることができます。
このように，円に直線を何本か引いて，円をいくつかの部分に分けることを考えます。
ただし，下の図のように，2本が円周上で交わったり，3本以上の直線が円の中で1点で交わるような引き方はしないことにします。
（1） 直線を4本引きます。このとき，最も小さいPを答えなさい。
（2） 直線を7本引きます。このとき，最も大きいPを答えなさい。
（3） 直線を10本引いて円をいくつかの部分に分けます。このとき，最も大きいPと最も小さいPの差を答えなさい。
（4） 直線を何本か引いて，P＝106の場合を考えます。このとき直線が最も多い場合は［ ア ］本で，最も少ない場合は［ イ ］本です。［ ア ］，［ イ ］にあてはまる数を答えなさい。（1）
図２，図３のように、直線が交差しない方が分ける数が少なくなるのでP＝5
（答え） 5
（２）
直線を1本引いたとき、Pは2、
直線を2本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は1で、最も大きいPは4、
直線を3本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は2で、最も大きいPは7、
直線を4本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は3で、最も大きいPは11、
直線を5本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は4で、最も大きいPは16、
直線を6本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は5で、最も大きいPは22、
直線を7本引いたとき、どの直線も他の直線との交点は6で、最も大きいPは29（答え） 29
（3）
（2）より、最も大きいPの数列は、
直線が1本：1+1=2
直線を2本：1+1+2=4
直線を3本：1+1+2+3=7
直線を4本：1+1+2+3+4=11
直線を5本：1+1+2+3+4+5=16
直線を6本：1+1+2+3+4+5+6=22
直線を7本：1+1+2+3+4+5+6+7=29
規則性より、
最も大きいPは1+1+2+3+・・・+10＝56で、
最も小さいPは10＋1＝11、
Pの差は56－11＝45（答え） 45
（4）
直線が最も多い場合は106－1＝105、
直線が最も少ない場合は、
1+1+2+3+・・・+□＝106となる□は、
1+（□＋1）×□÷2＝106
（□＋1）×□＝210
□=14（答え） ア 105 イ 14
