問題
次のような操作を考えます。
操作：ある数に対して，その数が10の倍数のときは10で割り，10の倍数でないときは3倍して2を加える。
この操作を繰（く）り返（かえ）し行うとき，次の問いに答えなさい。
（1）
（ⅰ） 1に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。
（ⅱ） 2に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。
（2） 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作を1回も行わない数は何個ありますか。
（3） 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数は何個ありますか。
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解答
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次のような操作を考えます。
操作：ある数に対して，その数が10の倍数のときは10で割り，10の倍数でないときは3倍して2を加える。
この操作を繰（く）り返（かえ）し行うとき，次の問いに答えなさい。
（1）
（ⅰ） 1に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。
（ⅱ） 2に対してこの操作を5回行ったあとの数を求めなさい。（2） 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作を1回も行わない数は何個ありますか。
（3） 1から100までの数に対してこの操作を行うとき，10で割るという操作をちょうど1回だけ行う数は何個ありますか。
（1）-（ⅰ）
操作1回目：1×3＋2＝5
操作2回目：5×3＋2＝17
操作3回目：17×3＋2＝53
操作4回目：53×3＋2＝161
操作5回目：161×3＋2＝485（答え） 485
（1）-（ⅱ）
操作1回目：2×3＋2＝8
操作2回目：8×3＋2＝26
操作3回目：26×3＋2＝80
操作4回目：80÷10＝8
操作5回目：8×3＋2＝26（答え） 26
（2）
（1）-（ⅰ）と（1）-（ⅱ）のことより、一の位を見れば10で割る操作があるかないかがわかる。
【3】
操作1回目：3×3＋2＝11
操作2回目：11×3＋2＝35
操作3回目：35×3＋2＝107
操作4回目：107×3＋2＝323
操作5回目：323×3＋2＝971
（1）-（ⅰ）と同じ数のくり返しで、10で割るという操作は起こらない。【4】
操作1回目：4×3＋2＝14
操作2回目：14×3＋2＝44
操作3回目：44×3＋2＝134
4が続き、10で割るという操作は起こらない。【5】
操作1回目：5×3＋2＝17
操作2回目：17×3＋2＝53
操作3回目：53×3＋2＝111
操作4回目：111×3＋2＝335
操作5回目：335×3＋2＝1007
（1）-（ⅰ）と同じ数のくり返しで、10で割るという操作は起こらない。【6】
操作1回目：6×3＋2＝20
操作2回目：20÷10＝2
操作3回目：2×3＋2＝8
操作4回目：8×3＋2＝26
操作5回目：26×3＋2＝80
（1）-（ⅱ）と同じ数のくり返しで、10で割るという操作が定期的に起こる。【7】
操作1回目：7×3＋2＝23
操作2回目：23×3＋2＝71
操作3回目：71×3＋2＝215
操作4回目：215×3＋2＝647
操作5回目：647×3＋2＝1943
（1）-（ⅰ）と同じ数のくり返しで、10で割るという操作は起こらない。【8】
操作1回目：8×3＋2＝26
操作2回目：26×3＋2＝80
操作3回目：80÷10＝8
操作4回目：8×3＋2＝26
操作5回目：26×3＋2＝80
（1）-（ⅱ）と同じ数のくり返しで、10で割るという操作が定期的に起こる。【9】
操作1回目：9×3＋2＝29
操作2回目：29×3＋2＝89
操作3回目：89×3＋2＝269
9が続き、10で割るという操作は起こらない。【10】
操作1回目：10÷10＝1
以降は（1）-（ⅰ）と同じで、10で割るという操作は起こらない。以上の事より一の位が1，3，4，5，7，9のときは、10で割るという操作は起こらない。
10で割るという操作を1回も行わない数は6×10=60個。（答え） 60個
（3）
（2）より、1，3，4，5，7，9の10倍の数である10，30，40，50，70，90の6個はすぐ見つかる。一の位が2となる二桁の数
【12】 12→38→116→350→35〇
【22】 22→68→206→620→62×
【32】 32→98→296→890→89〇
【42】 42→128→386→1160→116×
規則性を持って27ずつ増えていることが分かるので以下略
【52】 52→…→…→…→143〇
【62】 62→…→…→…→170×
【72】 72→…→…→…→197〇
【82】 82→…→…→…→224〇
【92】 92→…→…→…→251〇
一の位が2となる二桁の数には6個ある。一の位が6となる二桁の数
【16】 16→50→5〇
【26】 26→80→8×
【36】 36→110→11〇
【46】 46→140→14〇
規則性を持って3ずつ増えていることが分かるので以下略
【56】 56→…→17〇
【66】 66→…→20×
【76】 76→…→23〇
【86】 86→…→26×
【96】 96→…→29〇
一の位が6となる二桁の数には6個ある。一の位が8となる二桁の数
【18】 18→56→170→17〇
【28】 28→86→260→26×
【38】 38→116→350→35〇
【48】 48→146→440→44〇
規則性を持って9ずつ増えていることが分かるので以下略
【58】 58→…→…→53〇
【68】 68→…→…→62×
【78】 78→…→…→71〇
【88】 88→…→…→80×
【98】 98→…→…→89〇
一の位が8となる二桁の数には6個ある。よって、6×4＝24個。
（答え） 24個
