問題
整数を1から順に何個か足し合わせてできる数は三角数とよばれています。次の図のように，三角形に並んだ点の数と等しいからです。
このことから，1番目の三角数は1で，2番目は3，3番目は6，4番目は10,・・・となることがわかります。
また，奇数を1から順に何個か足し合わせてできる数は四角数とよばれています。次の図のように，四角形に並んだ点の数と等しいからです。
このことから，1番目の四角数は1で，2番目は4，3番目は9，4番目は16, ・・・となることがわかります。次の［ ア ］～［ カ ］に当てはまる数を答えなさい。
（1） 10番目の三角数は［ ア ］で，10番目の四角数は［ イ ］ です。
（2） 100番目の四角数から100番目の三角数を引いてできる数は［ ウ ］番目の三角数になります。また，200番目の三角数の2倍に［ エ ］を足すと，201番目の四角数になります。
（3） 49 番目の三角数は［ オ ］で，この数は［ カ ］番目の四角数でもあります。
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解答
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整数を1から順に何個か足し合わせてできる数は三角数とよばれています。次の図のように，三角形に並んだ点の数と等しいからです。
このことから，1番目の三角数は1で，2番目は3，3番目は6，4番目は10,・・・となることがわかります。
また，奇数を1から順に何個か足し合わせてできる数は四角数とよばれています。次の図のように，四角形に並んだ点の数と等しいからです。
このことから，1番目の四角数は1で，2番目は4，3番目は9，4番目は16, ・・・となることがわかります。次の［ ア ］～［ カ ］に当てはまる数を答えなさい。
（1） 10番目の三角数は［ ア ］で，10番目の四角数は［ イ ］ です。
（2） 100番目の四角数から100番目の三角数を引いてできる数は［ ウ ］番目の三角数になります。また，200番目の三角数の2倍に［ エ ］を足すと，201番目の四角数になります。
（3） 49 番目の三角数は［ オ ］で，この数は［ カ ］番目の四角数でもあります。（1）-ア
1から10までの数の和は、（1＋10）×10×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝55（1）-イ
丸の並びをを正方形と見立てて10×10＝100（答え） ア 55， イ 100
（2）-ウ
100番目の四角数は、100×100＝10000
100番目の三角数は、1＋2＋3＋・・・＋100＝（1＋100）×100×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝5050
10000－5050＝4950
▲番目の三角数が4950であれば、4950＝（1＋▲）×▲×$ \displaystyle \frac{1}{2} $の式になる。
（1＋▲）×▲=9900=100×99より▲は99で、99番目の三角数とわかる。（2）-エ
200番目の三角数の2倍は、｛（1＋200）×200×$ \displaystyle \frac{1}{2} $｝×2＝40200
201番目の四角数のは、201×201＝40401
40401－40200＝201（答え） ウ 99， エ 201
（3）-オ
49 番目の三角数は、1＋2＋3＋・・・＋49＝（1＋49）×49×$ \displaystyle \frac{1}{2} $＝1225
1225＝5×5×7×7＝35×35より、35の四角数でもある。（答え） オ 1225， カ 35
