立体の切断-3-1（海城中学2022/３問目がすぐにひらめく様になればいいですね）

問題

解答

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下の図のように，1辺が12cmの立方体ABCD-EFGHがあり，点Pは辺BF上，点Qは辺DH上の点で，BP＝10cm，DQ＝6cmです。3点A，P，Qを通る平面でこの立方体を切断します。この切断面と辺FG，辺GHが交わる点をそれぞれR，Sとします。次の問いに答えなさい。ただし，角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷3で求められるものとします。

（1） FR，SHの長さを求めなさい。
（2） 切断してできた立体のうち，点Eをふくむ方の体積を求めなさい。
（3） 切断面と直線CEが交わる点をNとするとき，CN：NEを最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

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（1）
線を延長した交点を点T，Uとする。

三角形PABと三角形PTFは相似なので、AB：BP＝TF：FPより、TF＝2.4cm
三角形QADと三角形QUHは合同より、HU＝12cm
三角形RFTと三角形UETは相似なので、TE：EU＝TF：FRより、FR＝4cm（答）
三角形UETと三角形UHSは相似なので、TE：EU＝SH：HUより、SH＝7.2cm（答）

（答え）　FR＝4cm　SH＝7.2cm

 

（2）
三角すいA-EUTの体積
（12＋12）×（12＋2.4）÷2×12÷3＝691.2cm³
三角すいP-FRTの体積
4×2.4÷2×2÷3＝3.2cm³
三角すいQ-HUSの体積
12×7.2÷2×6÷3＝86.4cm³
求める体積＝691.2－3.2－86.4＝601.6cm³

（答え）　601.6cm³

 

（3）
中学受験の範囲ではCEの長さや三角形ATUの面積は求められないので、どこかしら比を見つけるしかなさそう。
着目すべきは、上から見た際のCEとAGが重なって見えるというところ。
EGとRUの交点をVとして、三角形VUEと三角形VRGが相似であることからEV：VG＝③：①がわかる。

次にB→D方向に見る。
三角形NCAと三角形NEVが相似であることからCN：NE＝4：3とわかる。

（答え）　4：3