場合の数-2-4（開成中学2022/反対の場合を考えると分かり易いときもある）
問題 問題（開成中学2022/反対の場合を考えると分かり易いときもある） 4人の人がサイコロを1回ずつふるとき，目の出方は全部で6×6×6×6＝1296通りあります。この中で，4つの出た目の数をすべてかけると4の倍数になる目の出方は何通りありますか。 解答 解答を開く 4人の人がサイコロを1回ずつふるとき，目の出方は全部で6×6×6×6＝1296通りあります。この中で，4つの出た […]
計算-2-3（開成中学2022/数字の特徴をみつける）
問題 問題（開成中学2022/数字の特徴をみつける） 2.02÷（$ \displaystyle \frac{2}{3} $－□÷2$ \displaystyle \frac{5}{8} $）＝5.05×2.8 解答 解答を開く 2.02÷（$ \displaystyle \frac{2}{3} $－□÷2$ \displaystyle \frac{5}{8} $）＝5.05×2 […]
場合の数-2-3（海城中学2022/この手の問題を苦手とする子は多い）
問題 問題（海城中学2022/この手の問題を苦手とする子は多い） 777枚のコインは片方の面が白色，もう片方の面が黒色であり，1～777の番号がついています。はじめ，コインは全て白色の面が上になっています。また，袋（ふくろ）の中に1～5の数字が書かれたカードが1枚ずつ計5枚あり，次の【操作】をくり返し行います。 【操作】 カードを1枚引き，引いたカードの数字の倍数の番号のコインを裏返す。 その後 […]
立体の切断-3-1（海城中学2022/３問目がすぐにひらめく様になればいいですね）
問題 問題（海城中学2022/３問目がすぐにひらめく様になればいいですね） 下の図のように，1辺が12cmの立方体ABCD-EFGHがあり，点Pは辺BF上，点Qは辺DH上の点で，BP＝10cm，DQ＝6cmです。3点A，P，Qを通る平面でこの立方体を切断します。この切断面と辺FG，辺GHが交わる点をそれぞれR，Sとします。次の問いに答えなさい。ただし，角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷3で求め […]
通過算-2-3（海城中学2022/グラフから状況を読み取れるかな？）
問題 問題（海城中学2022/グラフから状況を読み取れるかな？） K鉄道のある区間には2つのトンネルA，Bがあり，A，Bの順に列車が一定の速さで通過します。次の問いに答えなさい。 （1） 長さが160mの列車が2つのトンネルを通過します。グラフは列車の先頭がトンネルAに人る時を0秒として，時間とトンネルの中にある列車の長さの関係を表しています。トンネルBの長さは何mですか。 （2） 長さが200 […]
面積比-2-4（海城中学2022/三角形の相似から比を出して面積を求めよう）
問題 問題（海城中学2022/三角形の相似から比を出して面積を求めよう） 下の図のように，平行四辺形 ABCDの辺ABを1：2に分ける点をE，辺 CDを1：2に分ける点を Fとし，辺BCと辺 DAの真ん中の点をそれぞれG，Hとします。 また，BHとCEが交わる点をI，CEとDGが交わる点をJ，DGとAFが交わる点をK，AFとBHが交わる点をLとします。次の問いに答えなさい。 （1） BI：IL： […]
ニュートン算-1-4（海城中学2022/とても簡単なニュートン算だが小問扱いなので本番では一瞬で解かないと）
問題 問題（海城中学2022/とても簡単なニュートン算だが小問扱いなので本番では一瞬で解かないと） ある店に，午後6時に何人かの客がいました。この店には，一定の割合で客が来店します。3分間に8人の割合で客が店を出ていくと，午後7時51分に客がいなくなります。また，2分間に5人の割合で客が店を出ていくと，午後8時28分に客がいなくなります。午後6時に店にいた客は何人ですか。 解答 解答を開く & […]
角度-1-6（海城中学2022/図形の基本がわかっていれば見つけられます）
問題 問題（海城中学2022/図形の基本がわかっていれば見つけられます） 下の図において，三角形DBEは三角形ABCを点Bを中心に時計回りに34°回転したものです。点Dが辺BC上にあり，辺ACと辺BEが平行であるとき，図の角アの大きさを求めなさい。 解答 解答を開く 下の図において，三角形DBEは三角形ABCを点Bを中心に時計回りに34°回転したものです。点Dが辺BC上にあり，辺 […]
濃度算・食塩水-1-7（海城中学2022/てんびん図を知らないと困る問題）
問題 問題（海城中学2022/てんびん図を知らないと困る問題） 8％の食塩水と13％の食塩水を混ぜて，10.9％の食塩水100gを作ります。 8 ％の食塩水は何g必要ですか。 解答 解答を開く 8％の食塩水と13％の食塩水を混ぜて，10.9％の食塩水100gを作ります。 8 ％の食塩水は何g必要ですか。 てんびん図で考えると、10.9－8＝2.9％、1 […]
数列-1-5（海城中学2022/群数列で考えよう）
問題 問題（海城中学2022/群数列で考えよう） ある規則にしたがって，整数が次のように並んでいます。 1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，・・・・・・ 左から数えて100番目の整数を求めなさい。 解答 解答を開く ある規則にしたがって，整数が次のように並んでいます。 1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，・・・・・・ 左から数えて100番目の整数を求めなさい。 & […]
旅人算-1-4（大宮開成中学2022/距離の関係だけがグラフで示されている）
問題 問題（大宮開成中学2022/距離の関係だけがグラフで示されている） A君は家から学校へ行くのに，家からP停留所まで歩き， P停留所からQ停留所までバスで移動し，その後Q停留所から学校まで歩きます。A君の母親はA君が家を出発してしばらくしてから，A君の忘れ物に気づき，同じ道を自動車で追いかけたところ，2人は同時に学校に着きました。下のグラフは，A君が家を出発してからの時間と，A君と母親との距 […]
約束記号-1-2（大宮開成中学2022/決められた計算方法で考えると答えの候補が絞られる）
問題 問題（大宮開成中学2022/決められた計算方法で考えると答えの候補が絞られる） 4けたの整数ABCDについて，各位の数の和をE，上2けたの数ABと下2けたの数CDの差をFとし，ABCD＝《E,F》と表します。例えば，4321＝《10,22》，2143＝《10,22》となります。次の各問いに答えなさい。 （1） 2022 = 《ア，イ》となるア，イの数を答えなさい。 （2） 《20,22》と […]
濃度算・食塩水-1-6（大宮開成中学2022/手順を追って１つずつ濃度を明らかにしていきましょう）
問題 問題（大宮開成中学2022/手順を追って１つずつ濃度を明らかにしていきましょう） A，B，Cの3つの容器があり，Aには食塩水100gが入っています。B，Cは空です。最初にAから90gの食塩水をとり出してBに入れ，さらにBに水10gを入れました。次にBから80gの食塩水をとり出してCに入れ，さらにCに水20gを入れました。このときCの食塩水の濃度は8.64％になりました。次の各問いに答えなさ […]
容器の水-1-2（大妻嵐山中学2022/柱体の容器を斜めにしたときの水の量は？）
問題 問題（大妻嵐山中学2022/柱体の容器を斜めにしたときの水の量は？） 下の図1のような直方体の容器に，水が760cm3入っています。この容器を図2のようにかたむけました。このとき，次の問いに答えなさい。 （1） 図2の口にあてはまる数を求めなさい。 （2） 図1の直方体の底面積は何cm2ですか。 解答 解答を開く 下の図1のような直方体の容器に，水が760cm3入っています […]
図形上を動く点-1-3（大妻中野中学2021/分かりづらいときは図を書いてみよう）
問題 問題（大妻中野中学2021/分かりづらいときは図を書いてみよう） AB=8cm、AD=4cmの長方形ABCDがあります。2点E、Fは頂点Bを同時に出発して、この長方形の辺上を頂点Cを通って頂点Dへ向かって動き、点Eが頂点Dに到達した時点で2点E、Fはどちらも止まります。点Eの速さは秒速2cm、点Fの速さは秒速1cmです。長方形ABCDの辺と、AEとAFにはさまれた部分の面積を考えます。この […]
場合の数-1-2（大妻中野中学2021/フローチャートとサイコロの目）
問題 問題（大妻中野中学2021/フローチャートとサイコロの目） さいころをふって得点していくゲームを考えます。下の図は、【入口】から【出口】まで矢印の方向に進みます。このとき、次の問いに答えなさい。 （1） 【出口】で持ち点が3点になるような、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 （2） 【出口】での持ち点は全部で何通りありますか。 （3） 【A】を「さいころを3回ふりましたか」に変更 […]
ダイヤグラム-2-4（大妻中学2021/ダイヤグラムがどのような形になるか気づけばOK）
問題 問題（大妻中学2021/ダイヤグラムがどのような形になるか気づけばOK） A とBが同時に会社を出発して18km離れたO会社へ向かいます。Aは初めタクシーに乗り，途中で降りて徒歩で向かいました。Bは初め徒歩で向かいましたが，Aを乗せていたタクシーが戻ってきたのでそれに乗ってO会社に向かったところ，Aより16分遅れて到着しました。タクシーの走る速さは毎時45km，2人の歩く速さは毎時5kmで […]
容器の水-1-1（大妻中学2021/仕切り板の高さが4つとも違う円柱）
問題 問題（大妻中学2021/仕切り板の高さが4つとも違う円柱） 図1のように，円柱の容器の中に4つの仕切りが底面と垂直に立てられています。図2は円柱を上から見たものです。㋐の真上から水を一定の割合で入れ始めました。水が仕切りA，B，Cを超えたのは水を入れ始めてそれぞれ3分後，8分後，17分後でした。また，28分後に円柱は水でいっぱいになりました。仕切りA，B，C，Dの高さの比を最も簡単な整数の […]
仕事算-1-6（大妻中学2021/シンプルな仕事算）
問題 問題（大妻中学2021/シンプルな仕事算） 20ページある文書をパソコンに入力する作業をA，B，Cの3人で，1ページ入力するごとに交代します。 ① A→B→C→A→… ② C→B→A→C→… ③ A→B→A→… ②の順番で行うと，①の順番で行うより3分多くかかります。③のようにA，Bの2人だけで行うと，①の順番で行うより15分早く終わります。C→A→B→C→…の順番で行うと，①の順番で行う […]
数の並び方-1-3（大妻中学2021/ときには地味な作業もあります）
問題 問題（大妻中学2021/ときには地味な作業もあります） 4種類の数字0，3，5，9を用いて表される整数を次のように小さい順に並べます。 3，5，9，30，33，35，39，50,… このとき，5039は何番目に出てきますか。 解答 解答を開く 4種類の数字0，3，5，9を用いて表される整数を次のように小さい順に並べます。 3，5，9，30，33，35，39，50,… このと […]
周期算-1-2（大妻中学2021/等間隔の点を1つ飛ばし2つ飛ばしで進むときの規則性）
問題 問題（大妻中学2021/等間隔の点を1つ飛ばし2つ飛ばしで進むときの規則性） 図の点Aから点Gは円を7等分する点です。 ・Pは点Aを，Qは点Cを同時に出発し，1秒ごとに移動します。 ・Pは時計回りに点を1つ飛ばしに，Qは反時計回りに点を2つ飛ばしに移動します。 （1） 2度目にPとQが同じ点で出会うのはどの点ですか。 （2） 2021秒後，PとQはそれぞれどの点に移動しますか。 解答 解 […]
数列-1-4（大妻多摩中学2022/郡数列：数列をグループごとにまとめる）
問題 問題（大妻多摩中学2022/郡数列：数列をグループごとにまとめる） 次のように，ある規則にしたがって数が並んでいます。 $ \displaystyle \frac{1}{1} $，$ \displaystyle \frac{1}{2} $，$ \displaystyle \frac{3}{2} $，$ \displaystyle \frac{1}{3} $，$ \displaystyle […]
面積-1-3（大妻多摩中学2022/辺の比が3:4:5の三角形と動く点で作られる面積）
問題 問題（大妻多摩中学2022/辺の比が3:4:5の三角形と動く点で作られる面積） 図のような台形ABCDがあります。点Pは対角線AC上を毎秒2.5cmの速さでAからCまで移動します。 このとき，次の問いに答えなさい。 （1） 点PがAからCまで進むのにかかる時間は何秒ですか。 （2） 点PがAを出発してから2秒後の三角形PBCの面積を求めなさい。 解答 解答を開く 図のような […]
旅人算-2-3（鴎友学園女子中学2022/双方の距離のグラフからダイヤグラムを考える）
問題 問題（鴎友学園女子中学2022/双方の距離のグラフからダイヤグラムを考える） 友子さんと弟の学さんは家から学校へ，同じまっすぐな道を通って向かいました。 友子さんは歩いてバス停に行き，6分間待ってからバスに乗り，降リてからまた歩いて学校へ向かいました。 学さんは，友子さんが出発してから16分後に自転車で学校に向かい，校門でちょうど追いつきました。 グラフは，友子さんが家を出発してからの時間 […]
容器の水-2-4（鴎友学園女子中学2022/水の入った容器に棒を入れていって水位の上がり具合を問う）
問題 問題（鴎友学園女子中学2022/水の入った容器に棒を入れていって水位の上がり具合を問う） 半径6cm，高さ35cmの円柱の容器に，底面から15cmの高さまで水が入っています。この中に半径2cm，高さ25cmの円柱の鉄の棒を1本ずつまっすぐに立てて入れていきます。 （1） 鉄の棒を1本入れたとき，水面は何cm上昇（じょうしょう）しますか。 （2） 入れた鉄の棒のすべてが，初めて完全に水の中に […]
面積比-2-3（鴎友学園女子中学2022/難しくはないが比の数字に自信が持てなくなってしまいそう）
問題 問題（鴎友学園女子中学2022/難しくはないが比の数字に自信が持てなくなってしまいそう） 図の平行四辺形ABCDは，AE：EB＝1：3，AG：GD＝3：1，BF：FC＝3：2です。 答えを出すために必要な式，図，考え方なども書きなさい。 （1） BH：HI：IDを，最も簡単な整数の比で表しなさい。 （2） 四角形HFCIの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか。 解答 解答を開く & […]