周期算-2-1（雙葉中学2013/数量を時間経過とともに図表にすると一気に楽になる）
問題 問題（雙葉中学2013/数量を時間経過とともに図表にすると一気に楽になる） 千羽鶴（せんばづる）をA,B,Cの3人で折りました。3人が鶴を折る速さはいつも変わらず、10分間にAさんは5羽、Bさんは8羽、Cさんは11羽です。最初は、3人で4時間20分折りました。その後は、A,B,C,A,…の順に交代で1人50分ずつ休み、残りの2人で折り続けました。 （1） 4時間20分で何羽折りましたか。（ […]
周期算-1-1（六甲学院中学2010/周期算の基本）
問題 問題（六甲学院中学2010/周期算の基本） 10を13で割ったとき，小数第2010位の数字を求めなさい。 解答 解答を開く 10を13で割ったとき，小数第2010位の数字を求めなさい。 【769230】の6桁をくり返すので、2010÷6＝335より、少数第2010位まで335回【769230】をくり返す。少数第2010位は最後の数が0になる。 （ […]
数列-2-3（市川中学2012/縦横斜めの隣り合う数の規則性を追いかける細かな作業）
問題 問題（市川中学2012/縦横斜めの隣り合う数の規則性を追いかける細かな作業） ［図1］のように，ある規則にしたがって数が並んでいます。 たとえば，2行目3列目の数は8です。このとき，次の間いに答えなさい。 （1） 8行目8列目の数はいくつですか。 （2） ［図2］は［図1］の一部で，4つの数㋐，㋑，㋒，㋓が並んでいます。㋐，㋑，㋒，㋓の合計が351になるとき，㋐，㋑，㋒，㋓のうちもっとも大 […]
数列-2-2（立教池袋中学2014/数列をグループに分けて考える）
問題 問題（立教池袋中学2014/数列をグループに分けて考える） ある規則に したがって、下のように2，3，5，7，11が並んでいます。 2，3，5，7，11，2，2，3，3，5，5，7，7，11，11，2，2，2，3，3，3，… 次の問いに答えなさい。 1） はじめから数えて、131番目の数はいくつですか。 2） 11が初めて11個述続で並ぶのは、はじめから数えて何番目から何番目ですか。 解答 […]
数列-2-1（学習院女子中等科2013/規則性はすぐ見つかるでの、あとは数えやすい形に整えればよい）
問題 問題（学習院女子中等科2013/規則性はすぐ見つかるでの、あとは数えやすい形に整えればよい） 次のように規則的に整数が並んでいます。下の問いに答えなさい。 1，2，4，5，6，8，9，10，12，13，14，16，・・・ （1） 2013は何番目の整数ですか。 （2） はじめから100番目の整数は何ですか。 （3） はじめから100番目までの整数をたすといくつになりますか。 解答 解答を […]
商と余り-2-2（麻布中学2006/条件を満たす共通の数を見つけて公倍数を加える方法）
問題 問題（麻布中学2006/条件を満たす共通の数を見つけて公倍数を加える方法） 4で割ると1余り，5で割ると2余り，7で割ると2余る整数のうち，500に最も近い数を求めなさい。 解答 解答を開く 4で割ると1余り，5で割ると2余り，7で割ると2余る整数のうち，500に最も近い数を求めなさい。 4で割ると1余る整数は、1、5、9、13、17、21、25 […]
商と余り-2-1（豊島岡女子学園中学2019/条件を満たす共通の数を見つけて公倍数を加える方法）
問題 問題（豊島岡女子学園中学2019/条件を満たす共通の数を見つけて公倍数を加える方法） 11で割ると7余り，31で割ると11余る整数の中で，1950にもっとも近い整数はいくつになりますか。 解答 解答を開く 11で割ると7余り，31で割ると11余る整数の中で，1950にもっとも近い整数はいくつになりますか。 11で割ると7余る整数は、7、18、29 […]
商と余り-1-1（開成中学2022/9の倍数を知っているか否か、それだけの問題）
問題 問題（開成中学2022/9の倍数を知っているか否か、それだけの問題） 次の計算の結果を9で割ったときの余りを求めなさい。 1234567 + 2345671 + 3456712 + 4567123 + 5671234 解答 解答を開く 次の計算の結果を9で割ったときの余りを求めなさい。 1234567 + 2345671 + 3456712 + 4567123 + 5671 […]
【予備知識】2・3・4・5・6・8・9の倍数
小問として出題される問題の中にこの知識を使うものがよく見られます。知っていないと思いのほか時間を取られるかもしれません。後半の大問を解く十分な時間を残しておくためにもぜひ覚えておきましょう。 2の倍数 下1けたが偶数か「0」 例：34、20 3の倍数 各けたの数字の和が3の倍数 例：111、201 4の倍数 下2けたが4の倍数か「00」 例：144、100 5の倍数 下1けたが「0」 […]
最大公約数・最小公倍数-2-1（専修大学松戸中学2016/最大公約数と最小公倍数の関係がわかっていれば解ける問題）
問題 問題（専修大学松戸中学2016/最大公約数と最小公倍数の関係がわかっていれば解ける問題） 異なる3つの整数A,B,Cがあります。A,B,Cの和は90で，A,B,Cの最大公約数は10です。このとき，A,B,Cの最小公倍数として考えられる数は，［ ］,［ ］,［ ］の3つあります。 解答 解答を開く 異なる3つの整数A,B,Cがあります。A,B,Cの和は90で，A,B,Cの最大 […]
最大公約数・最小公倍数-1-1（武蔵中学2022/素数・素因数分解・最大公約数・最小公倍数）
問題 問題（武蔵中学2022/素数・素因数分解・最大公約数・最小公倍数） 次の［ ㋐ ］，［ ㋑ ］にあてはまる数を書き入れなさい。 1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数のうち，最も小さいものは［ ㋐ ］です。㋐の約数のうち、最も大きい奇数は［ ㋑ ］いです。 解答 解答を開く 次の［ ㋐ ］，［ ㋑ ］にあてはまる数を書き入れなさい。 1から9までのどの整数 […]
倍数-2-1（フェリス女学院中学2011/あたえられた条件からあまりの特徴に気付けるか）
問題 問題（フェリス女学院中学2011/あたえられた条件からあまりの特徴に気付けるか） 次の問いに答えなさい。 ① 2011，2012，2013， 2014， 2015，2016，2017のうちから7の倍数をすべて選びなさい。 ② 1から7までの7個の数字のうち，4個の数字を使って4けたの整数をつくります。同じ数字を何度使ってもよいとき， 7の倍数は何通りつくれますか。 解答 解答を開く &n […]
影と相似-3-1（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える） 図のような四角柱ABCD-EFGHがあり、底面は1辺が4cmのひし形です。また、点Pと点Qはそれぞれ辺AB,BCの真ん中の点で、点Rは辺BF上にありBRの長さが1cmです。この四角柱を平面上に置き、点Dから6cm真上のところにある電球Oでこの四角柱に光を当てます。 このとき、次の各問いに答えな […]
影と相似-2-2（女子学院中学2015/街灯がつくる建物の影の面積）
問題 問題（女子学院中学2015/街灯がつくる建物の影の面積） 広く平らな土地に，縦と横の長さが3m，高さ2mの直方体の形をした倉庫があり，倉庫から1m離（はな）れたところに高さ4mの街灯が立っています。街灯によってできる倉庫の影の面積は □ m2です。 解答 解答を開く 広く平らな土地に，縦と横の長さが3m，高さ2mの直方体の形をした倉庫があり，倉庫から1m離（は […]
影と相似-2-1（栄光学園中学2017/階段にできた影の位置を三角形の相似から求める）
問題 問題（栄光学園中学2017/階段にできた影の位置を三角形の相似から求める） 横から見たときに下図のような階段があり，1段の高さは20cm，奥行きは25cmです。階段は，下から1 段目，2 段目，3 段目，……とし，Pを1段目の角(かど)と呼びます。この階段に向かってまっすぐ進む人の影を考えます。 このとき，次の問に答えなさい。 なお，太陽の光は（1）,（2）のいずれの場合も階段に向かう人の […]
体積比と相似-3-1（開成中学2022/相似比から体積比と表面積比を求める計算が多い問題）
問題 問題（開成中学2022/相似比から体積比と表面積比を求める計算が多い問題） 図1 のように，底面の半径が4cmでOAの長さが8cmの，粘土（ねんど）でできた円すいがあります。この円すいを，底面に平行で等間隔（とうかんかく）な3つの平面で4つのブロックに切り分け，いちばん小さいブロックから大きい方へ順にa,b, c, dと呼ぶことにします。このとき，次の問いに答えなさい。 （1） ブロックb […]
体積比と相似-1-2（円すいの体積比を相似比から求める方法）
問題 問題（円すいの体積比を相似比から求める方法） 図の様な３つの円すいがあり、【円すいQ】と【円すいR】は【円すいP】の一部です。 また、【円すいP】の点Bと点CはABを三等分します。 このとき、【円すいP】、【円すいQ】、【円すいR】の体積比を求めなさい。 解答 解答を開く 図の様な３つの円すいがあり、【円すいQ】と【円すいR】は【円すいP】の一部です。 また、【円すいP】の […]
体積比と相似-1-1（三角すいの体積比を相似比から求める方法）
問題 問題（三角すいの体積比を相似比から求める方法） 図の様に、三角すいA-BCDがあります。点Eと点HはABを三等分し、点Fと点IはACを三等分し、点Gと点JはADを三等分します。 三角すいA-BCD、三角すいA-EFG、三角すいA-HIJの体積の比を求めなさい。 解答 解答を開く 図の様に、三角すいA-BCDがあります。点Eと点HはABを三等分し、点Fと点IはACを三等分し、 […]
相似な図形-2-3（浅野中学2017/連比と面積比の練習）
問題 問題（浅野中学2017/連比と面積比の練習） ［図1］のような長方形ABCDがあります。辺AD、BCを2：1の比に分ける点をそれぞれE、Fとし、辺 CDを1：1の比に分ける点を Gとします。AFとBEの交わった点をHとし、AFとBGの交わった点をIとします。 このとき、BI：IG＝（コ）：（サ）になります。また、長方形ABCDの面積が180cm2のとき、色のついている部分の五角形DEHIG […]
相似な図形-2-2（広尾学園中学2015/三角形の相似比で面積比も求められる）
問題 問題（広尾学園中学2015/三角形の相似比で面積比も求められる） 下の図の四角形ABCDは面積が60cm2の平行四辺形です。点Eは辺BCの中点です。また，AB上に点Fをとり，CFとDEの交点をGとすると，CG：GF=3：5となります。 次の問いに答えなさい。 （1） AF：FBの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。 （2） 三角形FECの面積を求めなさい。 （3） ACとFDの交わる点をH […]
相似な図形-2-1（灘中学2012/相似を使う良問）
問題 問題（灘中学2012/相似を使う良問） 合同な2つの三角形を右の図のように置きます。 このとき， ABの長さは□cmです。 解答 解答を開く 合同な2つの三角形を右の図のように置きます。 このとき， ABの長さは□cmです。 補助線を追加し、各点を点C～点Jとおく。 角EFHと角AHFは錯角の関係になるのでEFとHAは平行となる。 […]
面積比-2-1（渋谷教育学園幕張中学2018/補助線を見つけ、相似な三角形から面積比を求める）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2018/補助線を見つけ、相似な三角形から面積比を求める） 次の各問いに答えなさい。 図1の四角形BCDEは平行四辺形で、AB：BC＝2：3です。 （1） DE：EFを、もっともかんたんな整数の比で表しなさい。 （2） 三角形CDHの面積は、三角形EGHの面積の何倍ですか。 解答 解答を開く 次の各問いに答えなさい。 図1の四角形BCDEは平行四辺 […]
面積比-1-3（鴎友学園女子中学2006/連比を使った面積比の求め方）
問題 問題（鴎友学園女子中学2006/連比を使った面積比の求め方） 下の図の平行四辺形ABCDでAE＝ED，DF＝FCです。このとき，三角形EFGと三角形BCFの面積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。 解答 解答を開く 下の図の平行四辺形ABCDでAE＝ED，DF＝FCです。このとき，三角形EFGと三角形BCFの面積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。 & […]
面積比-1-2（慶應義塾中等部2010/面積比を求める定番問題2）
問題 問題（慶應義塾中等部2010/面積比を求める定番問題2） ［図2］のように，三角形ABCの中に，それぞれAP：PQ=2：1，BQ：QR＝3：1，CR：RP＝3：2になるような点P,Q,Rをとります。三角形ABCの面積が441cm2のとき，三角形PQRの面積は，□cm2になります。 解答 解答を開く ［図2］のように，三角形ABCの中に，それぞれAP：PQ=2：1，BQ：QR […]
面積比-1-1（東京都市大学付属中学2012/面積比を求める定番問題）
問題 問題（東京都市大学付属中学2012/面積比を求める定番問題） 右の図のように、三角形ABCを面積の等しい6つの三角形に分けました。辺ACの長さが48cmであるとき、CHの長さは□cmです。 解答 解答を開く 右の図のように、三角形ABCを面積の等しい6つの三角形に分けました。辺ACの長さが48cmであるとき、CHの長さは□cmです。 それぞれの三 […]
容器の水-3-1（栄光学園中学2018/水位がおもりを超えて底面積が変わる場合）
問題 問題（栄光学園中学2018/水位がおもりを超えて底面積が変わる場合） 下の図のような，底面の半径が10cm，高さ20cmの円柱の容器と，底面の半径が5cm，高さ10cmの円柱のおもりA, 底面の半径が4cm，高さ20cmの円柱のおもりBがあります。 様々な高さまで水が入った容器におもりAとBを入れたときの水位（水面の高さ）の変化について考えます。ただし，容器の底におもりの底面がぴったり重な […]