面積比-1-4（浦和明の星女子中学2022/相似を見つけることと面積比から辺の比をだすこと）

問題

解答

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下の図の四角形ABCDは長方形で，EF,GHは長方形の縦の辺に，IJは横の辺にそれぞれ平行です。また，長方形ABHGの対角線BGは，EFとIJの交点Kを通ります。
四角形AIKEが正方形で，長方形KFHLと長方形GLJDの面積の比が1：3，LHとLJの長さの比が4：9です。次の問いに答えなさい。
① 正方形AIKEと長方形KFHLの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
② 正方形AIKEの面積が24cm²のとき，長方形ABCDの面積を答えなさい。

 

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長方形KFHLと長方形GLJDの面積比1：3を36（＝4×9）倍し、$ \fbox{36} $：$ \fbox{108} $とする。
$ \fbox{108} $÷9＝12，$ \fbox{36} $÷4＝9より、LG：LK＝⑫：⑨（④：③でもよいが後の計算が整数になるのでこのままにしておく。）

三角形GEKと三角形GABは相似なので、GE：EK＝GA：ABとなる。
⑨：⑫＝㉑：AB、AB＝㉘、IB＝㉘－⑫＝⑯＝LH
よって、$ \fbox{36} $＝⑨×⑯より、$ \fbox{1} $＝④、$ \fbox{108} $＝⑫×㊱、LJ＝㊱とわかる。

正方形AIKEと長方形KFHLの面積＝⑫×⑫：⑨×⑯＝1：1・・・（①の解答）

正方形AIKEの面積が24m²のとき、⑫×⑫＝24m²より、⑥＝1m²
長方形ABCDの面積は、（⑫＋⑯）×（⑫＋⑨＋㊱）÷⑥＝266m²・・・（②の解答）

 

（答え）　① 1：1　,　② 266ｍ²