面積-1-6（昭和学院秀英中学2022/直角三角形に内接する円）

問題

解答

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下の図は、AB=10m，BC=6m，CA=8m，角Cが90°の直角三角形です。また、円と辺AB，BC，CAにすきまはないものとします。次の問いに答えなさい。（円周率は3.14）

（1） 三角形ABCの面積を利用して円の半径を求めなさい。

（2） 斜線部分の面積の合計を求めなさい。

（3） 三角形ABCの斜線部分以外をAとCを通る直線を軸にして回転させた。えられる立体は点Dが回転する平面に置かれているとします。以下、この平面を地面とします。立体に点Aから光を当てたとき、地面（立体のある部分以外）にできる影の面積を求めなさい。

（4） （3）の立体に点Aの2m下の点Eから光を当てたとき、地面（立体のある部分以外）にできる影の面積は（3）の面積の何倍になるのかを求めなさい。

 

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（1）
三角形ABDの面積
＝6×8÷２＝24
＝（6×半径＋8×半径＋10×半径）÷2
＝24×半径÷2
これより、半径＝2cm

（答え）　2cm

 

（2）
斜線部分の面積の合計
＝24－2×2－2×2×3.14×$ \displaystyle \frac{3}{4} $
=10.58cm²

（答え）　10.58cm²

 

（3）
影となるのは赤線の４cmの範囲。
（6×6－2×2）×3.14＝100.48cm²

（答え）　100.48cm²

 

（4）
CE＝BC＝6cmなので、三角形ABCと赤線の三角形は合同、ゆえにDF=6cm。
点Eからの光で出来る影の面積は、
（8×8－2×2）×3.14=60×3.14
よって、
$ \displaystyle \frac{60×3.14}{32×3.14} $=$ \displaystyle \frac{15}{8} $=1$ \displaystyle \frac{7}{8} $倍

（答え）　1$ \displaystyle \frac{7}{8} $倍