面積-1-1（青山学院横浜英和中学2021/三角形の相似を使って面積比を求める）

問題

解答

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下の図の四角形ABCDは，1辺の長さが5cm，ACの長さが6cm，BDの長さが8cmのひし形です。点Oは対角線の交点，点Hは辺AD上にあり，OHとADは垂直に交わります。
また，点Gは辺AB上にあり，BDとGHは平行です。

（1） ひし形ABCDの面積は何cm²ですか。
（2） 三角形OAHの面積は，ひし形ABCDの面積の何倍ですか。
（3） 四角形GBDHの面積は何cm²ですか。

 

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（1）
8×6÷2＝24

（答え）　24cm²

 

（2）

角OAD＝角HOD，角ODA＝角HOAより、三角形OAHと三角形DAOは相似。
よって、
OD（4cm）：DA（5cm）＝HO：OA（3cm）
HO=2.4cm
AD（5cm）：AO（3cm）＝AO（3cm）：AH
AH=1.8cm
三角形OAHの面積は2.4×1.8÷2＝2.16cm²
三角形OAHの面積はひし形ABCDの面積の$ \displaystyle \frac{2.16}{24} $=$ \displaystyle \frac{9}{100} $倍

（答え）　$ \displaystyle \frac{9}{100} $倍

 

（3）
三角形AGHと三角形ABDは相似で、相似比は1.8：5＝9：25。
三角形ABDの面積が12cm²なので相似比より三角形AGHの面積は（12×$ \displaystyle \frac{9}{25} $×$ \displaystyle \frac{9}{25} $）cm²。
よって、四角形GBDHの面積は12－12×$ \displaystyle \frac{9}{25} $×$ \displaystyle \frac{9}{25} $＝12×（1－$ \displaystyle \frac{81}{625} $）＝12×$ \displaystyle \frac{544}{625} $＝10$ \displaystyle \frac{278}{625} $cm²

（答え）　10$ \displaystyle \frac{278}{625} $cm²