巻き付くひも-3-1（栄光学園中学2022/三次元で動く点を二次元で考えることができるか）

1 問題
2 解答

問題

問題（栄光学園中学2022/三次元で動く点を二次元で考えることができるか）

図1のような円すいがあります。この円すいの側面を直線XAに沿って切りひらくと，円の4分の1であるおうぎの形になります。また，円すいの底面の円には，すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。

（1） XAの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。

この円すいの表面上を動く点Pと点Qを考えます。
点Pは，図2のように，Aを出発して円すいの側面を最短距離（きょり）で左回りに1周してAに戻（もど）ってきます。一方，点Qは，図3のように，Aを出発して正方形ABCDの辺上を左回りに1周してAに戻ってきます。点Pと点Qは同時にAを出発して，それぞれ一定の速さで動きます。点Pの速さは点Qの速さの4倍です。このとき，円すいを真上から見ると，点Pは図4の実線部分に沿って動いていました。

（2）点PがAを出発してから，再びAに戻るまでに移動した距離を答えなさい。また，点PがAに戻ったときの点Qの位置を，次の①～⑧の中から選び，記号で答えなさい。

① A　　② AとBの間　　③ B　　④ BとCの間
⑤ C　　⑥ CとDの間　　⑦ D　　⑧ DとAの間

（3）図5は，あるときに円すいを真上から見た図で，3点C,P,Xは一直線上にありました。
このとき，実際のXPの長さ（円すいの頂点から点Pまでの長さ）と，図 5のXPの長さ（真上から見たときの XPの長さ）を答えなさい。

（4）図6は，あるときに円すいを真上から見た図で，3点B,P,Xは一直線上にありました。

（ア）Aを出発してからこのときまでにかかった時間は，点Pが1周する時間の　倍の時間と比べて，長いですか，短いですか，同じですか。次の①～③の中から選び，記号で答えなさい。

① 長い　　② 短い　　③ 同じ

（イ）図6の㋐の角度を答えなさい。

（ウ）図6のXPの長さは，図6のXQの長さと比べて，長いですか，短いですか，同じですか。次の①～③の中から選び，記号で答えなさい。また，その理由も書きなさい。

① 長い　　② 短い　　③ 同じ

（5）図7は，あるときに円すいを真上から見た図で，点Pは辺AB 上にありました。図7 の㋑の角度を答えなさい。

試験で使われる問題用紙はかなり大きめ。同じ大きさで過去問を用意して本番感覚を養いましょう。印刷するのはパパとママの役目。A3ノビまで対応、全色顔料インクで滲まない。最大給紙枚数は550枚。

解答

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（1） XAの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。

① A　　② AとBの間　　③ B　　④ BとCの間
⑤ C　　⑥ CとDの間　　⑦ D　　⑧ DとAの間

（4）図6は，あるときに円すいを真上から見た図で，3点B,P,Xは一直線上にありました。

① 長い　　② 短い　　③ 同じ

（イ）図6の㋐の角度を答えなさい。

① 長い　　② 短い　　③ 同じ

（5）図7は，あるときに円すいを真上から見た図で，点Pは辺AB 上にありました。図7 の㋑の角度を答えなさい。

（1）
円すいの性質より、$ \displaystyle \frac{90°}{360°} $＝$ \displaystyle \frac{底面の円の半径}{母線} $となる。よって、XAの長さは底面の円の半径の長さの4倍。

（答え）　4倍

補足

円すいの展開に関する基本知識の確認

（2）
正方形の面積が平方数となれば一辺の長さが分かることを利用する。

図の円すいの展開図で、小さい円の半径を1⃣、点Pが移動した距離（最短距離）をLとする。
小さい正方形の面積は100cm2で、1⃣×1⃣×2でも求められるので1⃣×1⃣＝50cm2となる。
また、L×Lで求められる大きい正方形の面積は、4⃣×4⃣×2と同じ。
1⃣×1⃣＝50cm2とわかっているので、
L×L＝（1⃣×4）×（1⃣×4）×2＝50×4×4×2=40×40であり、L＝40cmとなる。
Pが1周（40cm）移動するのであれば、1/4の速さのQは10cm移動し、B（③）にくる。